Решение задачи:

Проведем отрезки из центра квадрата к двум его углам, как на рисунке.
Заметим, что:
1) Эти отрезки и являются радиусами окружности.
2) Получившийся треугольник является прямоугольным (по свойству квадрата).
Тогда мы можем применить теорему Пифагора (пусть сторона квадрата - это "а"):
a²=R²+R²
a²=2R²
(38√2)²=2R²
38²*(√2)²=2R²
38²*2=2R² |:2
38²=R²
38=R
Ответ: 38