Решение задачи:

Вариант №1 (предложил пользователь Полина)
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Докажем, что это подобные треугольники:
∠AHC=∠BHC=90° (так как CH - высота).
По теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠CAH+∠AHC+∠HCA
180°=∠CAH+90°+∠HCA
90°=∠CAH+∠HCA
∠CAH=90°-∠HCA
Заметим, что:
∠BCH=90°-∠HCA
Получается, что ∠CAH=∠BCH
Тогда, по первому признаку подобия, данные треугольники подобны, т.е. можем записать пропорцию:
AH/CH=CH/BH
AH*BH=CH²
4*64=CH²
256=CH²
CH=√256=16
Ответ: 16

---

Вариант №2
Рассмотрим треугольник ABC.
Он прямоугольный, следовательно, можем применить теорему Пифагора:
AB²=AC²+BC² (равенство 1)
Рассмотрим треугольники ACH и BCH.
Они тоже прямоугольные, так как CH - высота, следовательно, и к ним можно применить теорему Пифагора.
Для треугольника ACH:
AC²=CH²+AH²
Для треугольника BCH:
BC²=CH²+BH²
А теперь сложим эти два равенства, левую часть с левой, а правую с правой:
AC²+BC²=CH²+AH²+CH²+BH²
Левая часть равна AB² (следует из равенства 1).
AB²=2CH²+AH²+BH²
Посмотрим на рисунок, АВ=AH+BH=4+64=68 (из условия задачи).
68²=2CH²+4²+64²
4624=2CH²+16+4096
2CH²=4624-16-4096=512
CH²=512/2=256
CH=√256=16
Ответ: 16