Решение задачи:

Вариант №1 (Прислал пользователь Евгений)
Проведем отрезок AB.
Найдем каждую сторону треугольника ABO по теореме Пифагора:
AO²=10²+6²
AO²=100+36=136
AO=√136
AB²=8²+2²
AB²=64+4=68
AB=√68
BO²=8²+2²
BO²=64+4=68
BO=√68
По теореме косинусов:
AB²=AO²+BO²-2AO*BO*cos∠AOB
(√68)²=(√136)²+ (√68)²-2*√136*√68*cos∠AOB
68=136+68-2√136*68*cos∠AOB
-136=-2√136*68*cos∠AOB
68=√4*34*4*17*cos∠AOB
68=2*2√34*17*cos∠AOB
17=√2*17*17*cos∠AOB
17=17√2*cos∠AOB
1=√2*cos∠AOB
cos∠AOB=1/√2
По основной тригонометрической формуле:
sin²∠AOB+cos²∠AOB=1
sin²∠AOB+(1/√2)²=1
sin²∠AOB+1/2=1
sin²∠AOB=1-1/2
sin²∠AOB=1/2
sin∠AOB=1/√2
tg∠AOB=sin∠AOB/cos∠AOB=(1/√2)/(1/√2)=1
Ответ: 1

---

Вариант №2 Достроим чертеж до двух прямоугольных треугольников. Найдем тангенсы для обоих треугольников для их углов О.
1) Для синего треугольника: tgα=8/2=4
2) Для красного треугольника: tgβ=6/10=0,6
Есть тригонометрическая формула:
tg(α-β)=(tgα-tgβ)/(1+tgα*tgβ)
Вычисляем:
tg∠AOB=tg(α-β)=(4-0,6)/(1+4*0,6)=3,4/3,4=1
Ответ: 1