ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №345EF5
| Задача №658 из 1087 Условие задачи: | |
Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=√11/6.
Решение задачи:
Вариант №1 (прислал Всеволод).
Проведем отрезок от точки касания стороны AB и окружности через центр окружности к стороне AC. Обозначим точки как показано на рисунке.
AD2=AM*AN (по
теореме о касательно и секущей для точки А).
AD2=9*11=99
AD=√99=√9*11=√9*√11=3√11
Рассмотрим треугольник ADE.
Данный треугольник
прямоугольный (по
свойству касательной).
cos∠BAC=AD/AE (по
определению).
AE=AD/cos∠BAC=3√11/(√11/6)=3√11*6/√11=3*6=18
!!!ВАЖНО!!! Если Вы решаете подобную задачу, но с другими числовыми значениями, проверьте, если полученное значение AE меньше значения AN, то данный метод решения не подходит,так как не соответствует рисунку. Переходите к варианту решения №2 (см. ниже)
По
теореме Пифагора:
AE
2=DE
2+AD
2
18
2=DE
2+(3
√11)
2
324=DE
2+9*11
DE
2=324-99=225
DE=15
EN*EM=EF*DE (по
теореме о двух секущих относительно точки E).
(AE-AN)*(AE-AM)=(DE-2R)*DE
(18-11)(18-9)=(15-2R)*15
7*9=(15-2R)*15 |:3
7*3=(15-2R)*5
21=75-10R
10R=75-21=54
R=5,4
Ответ: 5,4
Вариант №2.
Дополнительно обозначим ключевые точки и проведем отрезки, как показано на рисунке.
По
теореме о касательной и секущей найдем AD.
AD
2=AM*AN=9*11=99
AD=
√99
Рассмотрим треугольник ADM.
По
теореме косинусов найдем DM:
DM
2=AD
2+AM
2-2*AD*AM*cos∠BAC=(
√99)
2+9
2-2*
√99*9*
√11/6=99+81-18*3
√11*
√11/6=180-3*3*11=180-99=81
DM=9
Так как DM=AM=9, значит треугольник ADM -
равнобедренный.
Следовательно, по
свойству равнобедренного треугольника ∠BAM=∠ADM
По
четвертому свойству углов, связанных с окружностью ∠ADM равен половине градусной меры дуги DM.
∠DOM -
центральный угол, следовательно равен градусной мере дуги DM, т.е. вдвое больше, чем ∠ADM.
Рассмотрим треугольник DOM.
Так как OD=OM=R, то данный треугольник
равнобедренный.
Проведем
высоту OE, как показано на рисунке.
По
свойству равнобедренного треугольника:
высота OE является так же и
биссектрисой, и
медианой.
Следовательно, ∠DOE=∠DOM/2=∠ADM=∠BAC
Получаем, что cos∠DOE=cos∠BAC=
√11/6
sin∠DOE=
√1-cos2∠DOE=
√1-(√11/6)2=
√1-11/36=
√25/36=5/6 (
основная тригонометрическая формула)
DE=DM/2=9/2=4,5 (т.к. OE -
медиана).
sin∠DOE=DE/DO (по
определению).
5/6=4,5/DO
DO=4,5/(5/6)=4,5*6/5=5,4=R
Ответ: R=5,4
Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на
странице 'Про нас'
Другие задачи из этого раздела
В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём СF = АM, BE = DK. Докажите, что EFKM — параллелограмм.
Расстояние от точки пересечения диагоналей ромба до одной из его сторон равно 19, а одна из диагоналей ромба равна 76. Найдите углы ромба.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90°, то эти две прямые параллельны.
2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Вершины ромба расположены на сторонах параллелограмма, а стороны ромба параллельны диагоналям параллелограмма. Найдите отношение площадей ромба и параллелограмма, если отношение диагоналей параллелограмма равно 57.
В трапеции ABCD AB=CD, ∠BDA=67° и ∠BDC=28°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Комментарии:
(2017-05-03 21:11:28) Администратор: Василина, cos∠DOE=cos∠BAC, так как ∠DOE=∠BAC. В решении это показано.
(2017-05-02 22:31:56) Администратор: Анатолий, Мы не помогаем решить домашнее задание, цель сайта - подробно разобрать задачи, которые будут на экзаменах, чтобы учащиеся научились их решать самостоятельно. Если найдете похожую задачу на сайте fipi.ru, отправте заявку на добавление задачи, и мы ее обязательно добавим.
(2017-05-01 12:54:15) анатолий: в основании пирамиды лежит квадрат.одна из боковых граней перпендикулярна ее основанию а две соседние с ней грани образуют с основанием двугранные углы по 30.найти площадь поверхности пирамиды если ее высота равна h
(2017-04-18 14:36:53) Генрих: Пару дней назад все выслал)
(2017-04-13 12:28:20) Генрих: Все красиво перепишу и постараюсь сегодня выслать)
(2017-04-03 12:06:06) Администратор: Генрих, здравствуйте! Присылайте на admin@otvet-gotov.ru, будем очень благодарны!
(2017-04-03 12:04:55) Администратор: Генрих, здравствуйте! Присылайте на admin@otvet-gotov.ru, будем очень благодарны!
(2017-04-03 03:39:16) Генрих: Здравствуйте, хотел бы поделиться другим решением, куда его можно прислать, мне кажется, оно более универсально.
(2016-02-09 00:51:04) Администратор: Ксения, да, Вы правы, я подумаю, над этим вопросом...Спасибо за информацию.
(2016-02-09 00:41:58) Ксения: опечатка в моем комментарии: косинус=(корень из 15, деленный на 4(!)
(2016-02-09 00:37:24) Ксения: Решала аналогичную задачу с другими цифрами (расстояния 12 и 45 соответственно, косинус=(корень из 15, деленный на 2) первым способом. Получилось, что АЕ=24, что противоречит условию, т.к. АЕ должно быть больше, чем 45... Получается, что решение подходит не для всех задач..
(2015-05-26 17:22:14) Денис: моя задача на пробном ОГЭ (ГИА) в этом году.. аж до сих пор её помню)
(2015-05-05 09:53:28) Администратор: Галина, Вы меня запутали ))) Все нормально в этом варианте. Посмотрите свой же комментарий "АЕ=18, при этом по условию AM=9, AN=11, т.е. AN=20", у Вас AN то равняется 11, то 20...По условию AN=11, значит AE больше, чем AN...
(2015-05-05 09:49:56) Администратор: Галина, да, интересное замечание, я как-то даже не обратил внимания...Спасибо, я подумаю над этим вопросом...
(2015-05-05 09:11:30) Галина: Для варианта №1 АЕ=18, при этом по условию AM=9, AN=11, т.е. AN=20. Т.е. вторая часть решения EN*EM=EF*DE теряет смысл.