Новость

2015-03-01
Как показала практика, наш сайт не всегда эффективно используются.
Пользователи не мо...читать далее

Юмор

Автор: Анна
Учиться, учиться и еще раз учиться лучше, чем работать, работать и работать...читать далее

ОГЭ, 9-й класс. Математика: Геометрия


Задача №658 из 889. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 345EF5


Точки M и N лежат на стороне AC треугольника ABC на расстояниях соответственно 9 и 11 от вершины A. Найдите радиус окружности, проходящей через точки M и N и касающейся луча AB, если cos∠BAC=11/6.

Решение задачи:

Вариант №1 (прислал Всеволод).
Проведем отрезок от точки касания стороны AB и окружности через центр окружности к стороне AC. Обозначим точки как показано на рисунке.
AD2=AM*AN (по теореме о касательно и секущей для точки А).
AD2=9*11=99
AD=99=9*11=9*11=311
Рассмотрим треугольник ADE.
Данный треугольник прямоугольный (по свойству касательной).
cos∠BAC=AD/AE (по определению).
AE=AD/cos∠BAC=311/(11/6)=311*6/11=3*6=18

!!!ВАЖНО!!! Если Вы решаете подобную задачу, но с другими числовыми значениями, проверьте, если полученное значение AE меньше значения AN, то данный метод решения не подходит,так как не соответствует рисунку. Переходите к варианту решения №2 (см. ниже)

По теореме Пифагора:
AE2=DE2+AD2
182=DE2+(311)2
324=DE2+9*11
DE2=324-99=225
DE=15
EN*EM=EF*DE (по теореме о двух секущих относительно точки E).
(AE-AN)*(AE-AM)=(DE-2R)*DE
(18-11)(18-9)=(15-2R)*15
7*9=(15-2R)*15 |:3
7*3=(15-2R)*5
21=75-10R
10R=75-21=54
R=5,4
Ответ: 5,4
Вариант №2.
Дополнительно обозначим ключевые точки и проведем отрезки, как показано на рисунке.
По теореме о касательной и секущей найдем AD.
AD2=AM*AN=9*11=99
AD=99
Рассмотрим треугольник ADM.
По теореме косинусов найдем DM:
DM2=AD2+AM2-2*AD*AM*cos∠BAC=(99)2+92-2*99*9*11/6=99+81-18*311*11/6=180-3*3*11=180-99=81
DM=9
Так как DM=AM=9, значит треугольник ADM - равнобедренный.
Следовательно, по свойству равнобедренного треугольника ∠BAM=∠ADM
По четвертому свойству углов, связанных с окружностью ∠ADM равен половине градусной меры дуги DM.
∠DOM - центральный угол, следовательно равен градусной мере дуги DM, т.е. вдвое больше, чем ∠ADM.
Рассмотрим треугольник DOM.
Так как OD=OM=R, то данный треугольник равнобедренный.
Проведем высоту OE, как показано на рисунке.
По свойству равнобедренного треугольника: высота OE является так же и биссектрисой, и медианой.
Следовательно, ∠DOE=∠DOM/2=∠ADM=∠BAC
Получаем, что cos∠DOE=cos∠BAC=11/6
sin∠DOE=1-cos2∠DOE=1-(11/6)2=1-11/36=25/36=5/6 ( основная тригонометрическая формула)
DE=DM/2=9/2=4,5 (т.к. OE - медиана).
sin∠DOE=DE/DO (по определению).
5/6=4,5/DO
DO=4,5/(5/6)=4,5*6/5=5,4=R
Ответ: R=5,4

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Обратите внимание!!!

Вы можете посмотреть эту и другие задачи в более удобном интерфейсе, в котором выделено поле для дополнительных материалов, использованных для решения. Организован удобный поиск и переход между задачами. Запомните номер этой задачи и введите его в левом меню интерфейса.


Комментарии:


(2015-05-05 09:11:30) Галина: Для варианта №1 АЕ=18, при этом по условию AM=9, AN=11, т.е. AN=20. Т.е. вторая часть решения EN*EM=EF*DE теряет смысл.
(2015-05-05 09:49:56) Администратор: Галина, да, интересное замечание, я как-то даже не обратил внимания...Спасибо, я подумаю над этим вопросом...
(2015-05-05 09:53:28) Администратор: Галина, Вы меня запутали ))) Все нормально в этом варианте. Посмотрите свой же комментарий "АЕ=18, при этом по условию AM=9, AN=11, т.е. AN=20", у Вас AN то равняется 11, то 20...По условию AN=11, значит AE больше, чем AN...
(2015-05-26 17:22:14) Денис: моя задача на пробном ОГЭ (ГИА) в этом году.. аж до сих пор её помню)
(2016-02-09 00:37:24) Ксения: Решала аналогичную задачу с другими цифрами (расстояния 12 и 45 соответственно, косинус=(корень из 15, деленный на 2) первым способом. Получилось, что АЕ=24, что противоречит условию, т.к. АЕ должно быть больше, чем 45... Получается, что решение подходит не для всех задач..
(2016-02-09 00:41:58) Ксения: опечатка в моем комментарии: косинус=(корень из 15, деленный на 4(!)
(2016-02-09 00:51:04) Администратор: Ксения, да, Вы правы, я подумаю, над этим вопросом...Спасибо за информацию.
(2017-04-03 03:39:16) Генрих: Здравствуйте, хотел бы поделиться другим решением, куда его можно прислать, мне кажется, оно более универсально.
(2017-04-03 12:04:55) Администратор: Генрих, здравствуйте! Присылайте на admin@otvet-gotov.ru, будем очень благодарны!
(2017-04-03 12:06:06) Администратор: Генрих, здравствуйте! Присылайте на admin@otvet-gotov.ru, будем очень благодарны!
(2017-04-13 12:28:20) Генрих: Все красиво перепишу и постараюсь сегодня выслать)
(2017-04-18 14:36:53) Генрих: Пару дней назад все выслал)
(2017-05-01 12:54:15) анатолий: в основании пирамиды лежит квадрат.одна из боковых граней перпендикулярна ее основанию а две соседние с ней грани образуют с основанием двугранные углы по 30.найти площадь поверхности пирамиды если ее высота равна h
(2017-05-02 22:31:56) Администратор: Анатолий, Мы не помогаем решить домашнее задание, цель сайта - подробно разобрать задачи, которые будут на экзаменах, чтобы учащиеся научились их решать самостоятельно. Если найдете похожую задачу на сайте fipi.ru, отправте заявку на добавление задачи, и мы ее обязательно добавим.
(2017-05-03 21:11:28) Администратор: Василина, cos∠DOE=cos∠BAC, так как ∠DOE=∠BAC. В решении это показано.

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

9-й класс, ОГЭ: Математика

11-й класс, ЕГЭ: Математика (базовый уровень)

X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'ОГЭ, 9-й класс. Математика: Геометрия' (от 1 до 889)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2017. Все права защищены. Яндекс.Метрика