Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=19 и CD=22 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.
Пусть R - радиус окружности.
Рассмотрим треугольник BCA.
Этот треугольник вписан в окружность, тогда по
теореме синусов:
AB/sin(∠BCA)=2R
AB=2Rsin(∠BCA)
Рассмотрим треугольник BCD.
Этот треугольник тоже вписан в окружность, тогда по
теореме синусов:
CD/sin(∠CBD)=2R
CD=2Rsin(∠CBD)
Рассмотрим треугольник BCK.
По
теореме о сумме углов треугольника:
∠CBD+∠BCA+∠CKB=180°
∠AKB - является смежным по отношению к ∠CKB, следовательно ∠CKB=180°-∠AKB. Подставляем в уравнение выше:
∠CBD+∠BCA+(180°-∠AKB)=180°
∠CBD+∠BCA+(180°-60°)=180°
∠CBD+∠BCA=60°
Для простоты обозначим ∠CBD=а и ∠BCA=b, т.е. a+b=60°
a=60°-b
19=AB=2Rsin(a)
22=CD=2Rsin(60°-a)=2R(sin60°cos(a)-cos60°sin(a))=2R((√
Разделим второе уравнение на первое:
19/22=R(√
19/22=(√
19*2sin(a)=22*(√
38sin(a)=22√
60sin(a)=22√
Возведем правую и левую части в квадрат:
3600sin2(a)=484*3cos2(a)
3600sin2(a)=1452(1-sin2(a)) (применена
основная тригонометрическая формула)
3600sin2(a)=1452-1452sin2(a))
5052sin2(a)=1452
sin2(a)=1452/5052
sin2(a)=484/1684
sin2(a)=121/421
sin(a)=√
sin(a)=11/√
22=2R*11/(√
1=R/(√
R=√
Ответ: R=√
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Укажите номера верных утверждений.
1) Биссектриса равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, делит основание на две равные части.
2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3) Для точки, лежащей на окружности, расстояние до центра окружности равно радиусу.
Радиус окружности с центром в точке O равен 29, длина хорды AB равна 40 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
На стороне АС треугольника АВС выбраны точки D и E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок). Оказалось, что углы АEB и BDC тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.
Окружность с центром в точке O описана около равнобедренного треугольника ABC, в котором AB=BC и ∠ABC=79°. Найдите величину угла BOC. Ответ дайте в градусах.
В прямоугольном треугольнике
ABC катет AC=8, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 2√
Комментарии: