Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной окружности треугольника ABC равен 8.
Рассмотрим рисунок. Проведем отрезок MP, как показано на рисунке. BM - диаметр малой окружности (по условию задачи), следовательно треугольник BMP -
прямоугольный с
биссектрисой BM (по
свойству описанной окружности).
Рассмотрим треугольники BMP и CPM:
MP - общая сторона
BP=PC (по условию задачи)
/BPM=/CPM, т.к. /BPM - прямой, а /CPM - ему
смежный.
Следовательно треугольники BMP и CPM равны (по
первому признаку). Отсюда следует, что BM=MC=MA.
Рассмотрим треугольник BMC. Т.к. MB=MC, то этот треугольник
равнобедренный, следовательно /MCP=/PBM (по
свойству равнобедренных треугольников).
В треугольнике ABM аналогичная ситуация, /BAM=/ABM.
Т.е. получается, что /BAM+/MCP=/ABC. Из
теоремы о сумме углов треугольника следует, 180°=/BAM+/MCP+/ABC
180°=/ABC+/ABC
180°=2*/ABC
90°=/ABC
Из чего следует, что треугольник ABC -
прямоугольный. По
свойству описанной окружности следует, что точка М - центр описанной окружности => AC - диаметр описанной окружности, AM - радиус описанной окружности = AC/2=4. А так как BM=AM (мы это выяснили выше), то BM тоже равен 4.
Ответ: BM=4.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
В треугольнике ABC известно, что AC=14, BM — медиана, BM=10. Найдите AM.
В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке O. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AOD.
Лестница соединяет точки A и B. Высота каждой ступени равна 10,5 см, а длина – 36 см. Расстояние между точками A и B составляет 15 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).
В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=7, AC=9. Найдите cos∠ABC.
Точка O – центр окружности, на которой лежат точки P, Q и R таким образом, что OPQR – ромб. Найдите угол ORQ. Ответ дайте в градусах.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии: