ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №C13899

Задача №217 из 1087
Условие задачи:

Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади треугольника AKM к площади четырёхугольника KPCM.

Решение задачи:

BM - медиана треугольника АВС, следовательно, она делит этот треугольник на два равных по площади треугольника ( свойство медианы).
S_ABM=S_CMB=S_ABC/2
Рассмотрим треугольник ABM.
S_ABK+S_AKM=S_ABM=S_ABC/2
AP - биссектриса, по теореме о биссектрисе можно записать AM/AB=KM/BK.
По условию задачи AC втрое больше AB, следовательно, AM в 1,5 раза больше АВ (т.к. является половиной АС)
KM/BK=1,5. Т.к. площадь треугольника вычисляется по формуле S=1/2*h*a, где а-основание и h-высота, то можем записать:
S_AKM=1/2*h*KM=1/2*h*(1,5*BK),
S_AKM=1/2*h*(3/2*BK)=3/2*(1/2*h*BK)=3/2*S_ABK (т.к. высота h для этих треугольников общая)
S_ABK=2/3*S_AKM
S_ABK+S_AKM=S_ABM=S_ABC/2
2/3*S_AKM+S_AKM=S_ABC/2
5/3*S_AKM=S_ABC/2
S_AKM=0,3*S_ABC
По тому же свойству биссектрисы для треугольника ABC получаем, что AC/AB=CP/PB
AC/AB=3 (по условию задачи), следовательно, CP=3*PB
S_APC=1/2*h*PC=1/2*h*(3*PB)=3*(1/2*h*PB)=3*S_ABP,
S_ABP+S_APC=S_ABC
S_ABP+3*S_ABP=S_ABC
S_ABP=S_ABC/4
S_KPCM=S_ABC-S_ABP-S_AKM=S_ABC-S_ABC/4-0,3*S_ABC=0,45*S_ABC
Отношение S_AKM к S_KPCM равно 0,3*S_ABC/0,45*S_ABC=2/3
Ответ: Отношение S_AKM к S_KPCM равно 2/3.