Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Проведем следующие отрезки (как показано на рисунке 2):
1) Из точки О2 к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (точка Р)
2) Из точки О1 к точке касания окружности и продолжения стороны ВС. (Точка К)
3) Из точки О1 к точке О2.
Заметим, что:
1) СМ=АС/2.
2) СР=СМ, по
второму свойству касательной.
3) СМ=СК, по
второму свойству касательной.
4) O1O2=R+r.
5) O2Р перпендикулярна AC, по
первому свойству касательной.
6) O1К тоже перпендикулярна AC, по
свойству касательной.
7) Из пунктов 2) и 3) следует, что СР=СК=СМ=АС/2. Тогда РК=АС/2+АС/2=АС.
Следовательно, O2Р ||
O1К (по
свойству параллельных прямых). Отсюда следует, что
О1О2РК - прямоугольная трапеция (по
определению трапеции).
Рассмотрим эту трапецию.
Проведем отрезок О2Е параллельный РК, а раз он параллелен РК, то в свою очередь перпендикулярен О1К и равен ему. Следовательно получившийся треугольник O1O2Е -
прямоугольный.
Тогда, по
теореме Пифагора, мы можем записать: (O1O2)2=(O2Е)2+(O1Е)2.
Подставим известные нам данные, полученные ранее:
(R+r)2=AC2+(R-r)2. Раскрываем скобки, получаем:
R2+2Rr+r2=AC2+R2-2Rr+r2
2Rr=AC2-2Rr
4Rr=AC2
r=(AC2)/4R
r=122/(4*7,5)
r=12*12/(4*7,5)
r=3*12/7,5
r=12/2,5
r=4,8
Ответ: радиус вписанной окружности равен 4,8.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Площадь прямоугольного треугольника равна 512√
Найдите угол АСО, если его сторона СА касается окружности, О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри этого угла, равна
130°.
Точка О – центр окружности, /BAC=75° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90°, то эти две прямые параллельны.
2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Укажите номера верных утверждений.
1) Медиана равнобедренного треугольника, проведённая из вершины, противолежащей основанию, перпендикулярна основанию.
2) Диагонали любого прямоугольника делят его на 4 равных треугольника.
3) Для точки, лежащей внутри круга, расстояние до центра круга меньше его радиуса.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии: