В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 10, 9 и 6. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
По
свойству касательной:
OF - радиус окружности, т.к. OF проходит через центр окружности и перпендикулярен
касательной AC.
AG=AF
BG=BH=x
CH=CF=y
AF найдем по
теореме Пифагора:
AO2=AF2+OF2
102=AF2+62
100=AF2+36
AF2=64
AF=8=AG
EH -
высота параллелограмма. EH=OH+OE=6+9=15
SABC=p*r, где p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.
p=(AB+BC+AC)/2.
Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
AD=BC и AB=CD (по
свойству параллелограмма).
AC - общая сторона.
Следовательно, по
третьему признаку равенства треугольников, данные треугольники равны.
Тогда:
SABCD=2*SABC
И в тоже время SABCD=EH*AD.
Приравняем полученные равенства:
p*r=EH*AD/2
(AB+BC+AC)/2*r=EH*BC/2
(AG+GB+BH+HC+CF+AF)*r=EH*(BH+HC)
(8+x+x+y+y+8)*6=15*(x+y)
(16+2x+2y)*6=15*(x+y)
96+6(2x+2y)=15*(x+y)
96+12(x+y)=15*(x+y)
96=3(x+y)
x+y=32=BC=AD
SABCD=EH*AD=15*32=480
Ответ: SABCD=480
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол
OCD равен 80°. Найдите величину угла OAB.
Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 34, а основание равно 60. Найдите площадь этого треугольника.
Точки M и N являются серединами сторон AB и BC треугольника ABC соответственно. Отрезки AN
и CM пересекаются в точке O, AN=33, CM=15. Найдите ON.
Сторона ромба равна 34, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
Проектор полностью освещает экран A высотой 190 см, расположенный
на расстоянии 210 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 380 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2014-05-29 09:40:10) дарья: спасибо вам, вы молодцы!
(2014-05-28 20:38:47) дарья: спасибо вам, вы молодцы!
(2014-05-27 15:11:09) дарья: спасибо вам, вы молодцы!
(2014-05-26 15:10:37) дарья: спасибо вам, вы молодцы!
(2014-05-21 17:06:20) дарья: спасибо вам, вы молодцы!
(2014-05-21 10:14:06) дарья: спасибо вам, вы молодцы!
(2014-05-20 22:09:43) Администратор: Дарья, спасибо и Вам!
(2014-05-20 21:39:24) дарья: спасибо вам, вы молодцы!