В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 164. Найдите стороны треугольника ABC.
Вариант №1
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE -
биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по
второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD -
равнобедренный.
BO -
биссектриса этого треугольника, следовательно и
медиана, и
высота (по третьему
свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=164/2=82.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED -
медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму
свойству медианы).
SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(164*82)/2=82*82=6724
SABE=(BE*AO)/2=(164*82)/2=6724
Т.е. SABE=SEDC=SEDB=6724
Тогда, SABС=3*6724=20172
AD -
медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по
второму свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(164*BO)/2=20172/2
BO=20172/164=123
Рассмотрим треугольник ABO, он
прямоугольный, тогда применим
теорему Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1232+822
AB2=15129+6724=21853
AB=√
BC=2AB=2*41√
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=164-123=41
Так как этот треугольник тоже
прямоугольный, то можно применить
теорему Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=822+412=6724+1681=8405
AE=√
Так как BE -
биссектриса, то используя ее
первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
82√
2=CE/(41√
CE=82√
AC=AE+CE=41√
Ответ: AB=41√
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.
На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 2 м, если длина его тени равна 1 м, высота фонаря 9 м?
В окружности с центром в точке О проведены диаметры AD и BC, угол ABO равен 55°. Найдите величину угла ODC.
Укажите номера верных утверждений.
1) Если один из углов треугольника прямой, то треугольник прямоугольный.
2) Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
3) Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√
Комментарии: