В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=14, BC=12.
По условию задачи AB перпендикулярна BC, следовательно перпендикулярна и AD (т.к. в
трапеции основания параллельны).
Расстояние от точки Е до прямой CD - отрезок, перпендикулярный CD и проходящий через точку Е.
Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке T.
Проведем CK параллельно AB.
AK=BС (т.к. ABKC -
прямоугольник).
KD=AD-AK=14-12=2
По
определению косинуса: cos∠CDK=KD/CD=2/CD
Рассмотрим треугольники TCB и CKD.
∠CTB=∠DCK (т.к. это
соответственные углы при параллельных прямых TA и CK)
∠TBC=∠CKD=90°
Следовательно, эти треугольники
подобны (по
первому признаку подобия).
Тогда, BC/KD=TC/CD
12/2=TC/CD
TC=6CD
По
теореме о касательно и секущей:
TE2=TD*TC=(TC+CD)*TC=(6CD+CD)6CD=7CD*6CD=42CD2
TE=CD√
Рассмотрим треугольники TEF и TAD.
∠CTB - общий
∠EFT=∠TAD=90°
Следовательно, применив
теорему о сумме углов треугольника, получаем, что ∠TEF=∠ADT (=∠CDK).
Следовательно, cos∠TEF=cos∠ADT(=cos∠CDK).
EF=TE*cos∠TEF=TE*cos∠ADT=2TE/CD=2CD√
Ответ: EF=2√
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
В треугольнике ABC угол C равен 135°, AB=14√2. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3) Если в ромбе один из углов равен
90°, то такой ромб — квадрат.
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=11, а расстояние от точки K до стороны AB равно 3.
На клетчатой бумаге отмечены точки A, B и C. Площадь одной клетки равна 1. Найдите расстояние от точки A до середины отрезка BC.
Найдите площадь прямоугольного треугольника, если его катет и гипотенуза равны соответственно 40 и 85.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2017-06-03 19:47:21) Администратор: Катя, я подписал в решении, чтобы стало понятней. ∠ADT - это ∠CDK, который равен 2/CD (это мы нашли ранее).
(2017-06-03 01:35:19) Катя: Объясните пожалуйста последнюю строчку в решении : почему произведение косинуса угла ADT на TE равно 2TE/CD?