Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 45 и 46, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Проведем несколько отрезков:
EH - радиус малой окружности. Он перпендикулярен AB (по
свойству касательной).
FG - радиус большой окружности. Он перпендикулярен AB (по
свойству касательной).
HG - отрезок, соединяющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку К.
Рассмотрим треугольники AFG и AEH:
∠EAH - общий;
углы AEH и AFG - прямые.
Следовательно эти треугольники
подобны, тогда:
FG/EH=AG/AH
FG/EH=(AH+HG)/AH
46/45=(AH+R+r)/AH
46AH=45(AH+91)
46AH-45AH=4095
AH=4095
sin∠EAH=EH/AH=45/4095=1/91
AK=AH+r=4095+45=4140
AK перпендикулярен AB, т.к. это продолжение большого и малого радиусов, а AB -
касательная (
свойство касательной) и делит хорду AB пополам (по
свойству хорды).
Треугольник ABC -
равнобедренный, т.к. AK - и
медиана и
высота (
свойство равнобедренного треугольника).
Теперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем:
AK=4140
sinα=1/91
Так как AK -
биссектриса, то центр описанной окружности находится на AK.
Найдем AB.
По
теореме Пифагора:
AB2=AK2+BK2
AB2=AK2+(AB*sinα)2
AB2-AB2*sin2α=
41402
AB2(1-1/912)=41402
AB2(912-1)=912*41402
AB2=912*41402/(912-1)
Рассмотрим треугольник AOB.
AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник
равнобедренный.
Проведем высоту ON, в
равнобедренном треугольнике она так же является и
медианой (по
свойству равнобедренного треугольника).
sinα=ON/AO=1/91 => ON=AO/91
По теореме
Пифагора:
AO2=ON2+AN2
AO2=AO2/912+(AB/2)2
AO2((912-1)/912)=912*41402/(912-1)
AO2=912*41402/(912-1)/((912-1)/912)=912*41402*912/(912-1)2
AO=912*4140/(912-1)
AO=8281*4140/8280=8281/2=4140,5
Ответ: Радиус описанной окружности равен 4140,5.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Найдите тангенс угла AOB.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.
2) Площадь круга меньше квадрата длины его диаметра.
3) Если в четырёхугольнике диагонали перпендикулярны, то этот четырёхугольник — ромб.
В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 67. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.
В прямоугольном треугольнике один из катетов равен 4, а острый угол, прилежащий к нему, равен 45°. Найдите площадь треугольника.
В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 57. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.
Комментарии:
(2014-05-29 15:26:21) Танюшка: Большое спасибо! Очень мудреная задача!