Решение задачи:

Решение предложил пользователь Александр Круть
Рассмотрим трапецию ACO₁O₂
Данная трапеция прямоугольная, т.к. радиусы перпендикулярны касательной AC (по свойству касательной).
Проведем O₂K параллельно AC, O₂K=AC, т.к. ACKO₂ - прямоугольник. По теореме Пифагора:
(O₁O₂)²=(O₂K)²+(KO₁)²
(R+r)²=(O₂K)²+(R-r)²
(77+44)²=(O₂K)²+(77-44)²
14641=(O₂K)²+1089
(O₂K)²=13552
O₂K=√13552=√16*121*7=4*11√7=44√7=AC
Проведем отрезок AM, перпендикулярный CD. AM равняется искомому EF, так как AMFE образует прямоугольник.
Рассмотрим треугольники ACM и O₂KO₁.
∠O₂KO₁=∠AMC=90°
∠KO₂O₁=CAM (так как стороны улов попарно параллельны).
Следовательно, данные треугольники подобны (по первому признаку).
Тогда:
AM/O₂K=AC/O₂O₁
Напомним: AC мы нашли ранее, O₂K=AC, O₂O₁=R+r.
AM/AC=AC/(R+r)
AM=AC*AC/(R+r)
AM=(44√7)²/(77+44)
AM=44²*7/121
AM=13552/121=112
Ответ: 112