Автор: страдалец
Окружности радиусов 44 и 77 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Решение предложил пользователь Александр Круть
Рассмотрим
трапецию ACO1O2
Данная трапеция
прямоугольная, т.к. радиусы перпендикулярны
касательной AC (по
свойству касательной).
Проведем O2K параллельно AC, O2K=AC, т.к. ACKO2 -
прямоугольник.
По
теореме Пифагора:
(O1O2)2=(O2K)2+(KO1)2
(R+r)2=(O2K)2+(R-r)2
(77+44)2=(O2K)2+(77-44)2
14641=(O2K)2+1089
(O2K)2=13552
O2K=√
Проведем отрезок AM, перпендикулярный CD. AM равняется искомому EF, так как AMFE образует прямоугольник.
Рассмотрим треугольники ACM и O2KO1.
∠O2KO1=∠AMC=90°
∠KO2O1=CAM (так как стороны улов попарно параллельны).
Следовательно, данные треугольники
подобны (по
первому признаку).
Тогда:
AM/O2K=AC/O2O1
Напомним: AC мы нашли ранее, O2K=AC, O2O1=R+r.
AM/AC=AC/(R+r)
AM=AC*AC/(R+r)
AM=(44√
AM=442*7/121
AM=13552/121=112
Ответ: 112
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Комментарии:
(2017-04-24 01:47:07) Администратор: Александр, спасибо большое. Действительно, Ваше решение намного удобней и короче. Публикую его под Вашим именем.
(2017-04-20 07:07:40) Александр: Это еще не самое удобное решение. Вышлю почтой.
(2017-04-19 18:52:37) Администратор: Александр, я прислушался к Вашему совету и согласен с Вами. Я подобрал наиболее удобные для вычислений треугольники и переделал решение через подобие. Ответ сошелся с Вашим. Спасибо большое за подсказку.
(2017-04-18 22:26:29) Александр: К тому же использование тригономерических функций в дпнной задаче излишнее, можно просто через подобие треугольников. Будет проще.
(2017-04-18 15:26:52) Александр: Решение содержит ошибку. Правильный ответ 112.
(2016-09-27 13:01:37) Администратор: Ирина, спасибо большое, исправлено.
(2016-09-27 08:28:01) ирина: опечатка. Рассм. треуг.ОАО2 и ОСО1 (см. рис.1)
(2015-12-26 00:54:05) Галина: Спасибо!!!