ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №812798

Задача №571 из 1087
Условие задачи:

Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 13 и 11, а средняя линия равна 10.

Решение задачи:

Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму оснований:
S_ABCD=h*(BC+AD)/2=h*l, где l - средняя линия трапеции l=(BC+AD)/2. Следовательно, нам надо найти высоту h.
Продлим основание AD и проведем отрезок из вершины C, параллельный BD до пересечения с продленным основанием в точке M (как показано на рисунке).
В четырехугольнике BCMD сторона CM||BD (мы сами так провели СМ) и DM||BC (по определению трапеции).
Следовательно, четырехугольник BCMD - параллелограмм.
Тогда, по свойству параллелограмма, DM=BC.
AM=AD+DM=AD+BC=2l=2*10=20
Рассмотрим треугольник ACM.
Мы знаем длины всех его сторон, следовательно можем найти площадь через полупериметр:
Полупериметр p=(AC+CM+AM)/2=(AC+BD+AM)/2=(13+11+20)/2=22
S_ACM=√p(p-AC)(p-CM)(p-AM)=√22(22-13)(22-11)(22-20)=√22*9*11*2=√4356=66
По другой формуле S_ACM=h*AM/2=66
h=2*66/AM=2*66/20=6,6
Теперь мы можем вычислить площадь трапеции:
S_ABCD=h*l=6,6*10=66
Ответ: 66