ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №9FCAB9

Решение задачи:

Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=96/2=48.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). S_EDC=S_EDB=(BE*OD)/2=(96*48)/2=48*48=2304
S_ABE=(BE*AO)/2=(96*48)/2=2304
Т.е. S_ABE=S_EDC=S_EDB=2304
Тогда, S_ABС=3*2304=6912
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
S_ABD=(AD*BO)/2=S_ABC/2
(96*BO)/2=6912/2
BO=6912/96=72
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB²=BO²+AO²
AB²=72²+48²
AB²=5184+2304=7488
AB=√7488= √13*576=24√13
BC=2AB=2*24√13=48√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=96-72=24
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE²=AO²+OE²
AE²=48²+24²=2304+576=2880
AE=√2880=√576*5=24√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
48√13/24√13=CE/(24√5)
2=CE/(24√5)
CE=48√5
AC=AE+CE=24√5+48√5=72√5
Ответ: AB=24√13, BC=48√13, AC=72√5