ОГЭ, Математика. Геометрия: Задача №0CDF34 | Ответ-Готов 


Юмор

Автор: Таська
Так выглядит современная программа обучения.
...читать далее

ОГЭ/ГИА

ЕГЭ (базовый уровень)

Числа и вычисления

Алгебраические выражения

Уравнения и неравенства

Числовые последовательности

Функции

Координаты на прямой и плоскости

Геометрия

Статистика и теория вероятностей

Алгебра

Уравнения и неравенства

Функции

Начала математического анализа

Геометрия

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №0CDF34

Задача №750 из 1087
Условие задачи:

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=19 и CD=28 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Решение задачи:

Вариант №1 (предложил пользователь Всеволод).
Проведем BE||AC
ABCE - трапеция по определению.
Так как эта трапеция вписана в окружность, то данная трапеция равнобедренная (по свойству описанной окружности).
Следовательно EC=AB=19.
∠AKB=∠KBE=60°, т.к. это накрест лежащие углы при параллельных прямых BE и AC.
BECD - четырехугольник, вписанный в окружность, следовательно:
∠ECD+∠KBE=180° (по свойству).
∠ECD=180°-∠KBE=180°-60°=120°
Применим теорему косинусов для треугольника CDE:
ED2=EC2+CD2-2*EC*CD*cos∠ECD
ED2=192+282-2*19*28*cos120°
ED2=361+784-2*19*28*(-1/2)
ED2=1145+532=1677
ED=√1677
А теперь применим теорему синусов для треугольника CDE:
ED/sin∠ECD=2R
R=√1677/(2*sin120°)=√1677/(2*√3/2)=√1677/√3=√1677/3=√559
Ответ: R=√559

Вариант №2
Пусть R - радиус окружности.
Рассмотрим треугольник BCA.
Этот треугольник вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
AB/sin(∠BCA)=2R
AB=2Rsin(∠BCA)
Рассмотрим треугольник BCD.
Этот треугольник тоже вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
CD/sin(∠CBD)=2R
CD=2Rsin(∠CBD)
Рассмотрим треугольник BCK.
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CBD+∠BCA+∠CKB=180°
∠AKB - является смежным по отношению к ∠CKB, следовательно ∠CKB=180°-∠AKB. Подставляем в уравнение выше:
∠CBD+∠BCA+(180°-∠AKB)=180°
∠CBD+∠BCA+(180°-60°)=180°
∠CBD+∠BCA=60°
Для простоты обозначим ∠BCA=а и ∠CBD=b, т.е. a+b=60°
a=60°-b
19=AB=2Rsin(a)
28=CD=2Rsin(60°-a)=2R(sin60°cos(a)-cos60°sin(a))=2R((√3/2)*cos(a)-(1/2)*sin(a))=R(√3cos(a)-sin(a)) (применена тригонометрическая формула)
Разделим второе уравнение на первое:
28/19=R(√3cos(a)-sin(a))/(2Rsin(a))
28/19=(√3cos(a)-sin(a))/(2sin(a))
28*2sin(a)=19*(√3cos(a)-sin(a))
56sin(a)=19√3cos(a)-19sin(a)
75sin(a)=19√3cos(a)
Возведем правую и левую части в квадрат:
5625sin2(a)=361*3cos2(a)
1875sin2(a)=361(1-sin2(a)) (применена основная тригонометрическая формула)
1875sin2(a)=361-361sin2(a)
2236sin2(a)=361
sin2(a)=361/2236
sin(a)=√361/2236
sin(a)=19/√2236
19=2R*19/√4*559)
1=2R/(2√559)
R=√559
Ответ: R=√559

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела



Задача №D0E82E

Медиана BM треугольника ABC является диаметром окружности, пересекающей сторону BC в её середине. Найдите этот диаметр, если диаметр описанной окружности треугольника ABC равен 8.



Задача №832D05

Проектор полностью освещает экран A высотой 100 см, расположенный на расстоянии 170 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 340 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?



Задача №0B012C

Около трапеции, один из углов которой равен 49°, описана окружность. Найдите остальные углы трапеции.



Задача №F1AE38

Длина хорды окружности равна 72, а расстояние от центра окружности до этой хорды равно 27. Найдите диаметр окружности.



Задача №4F6A6A

Укажите номера верных утверждений.
1) Центр описанной окружности равнобедренного треугольника лежит на высоте, проведённой к основанию треугольника.
2) Квадрат является прямоугольником.
3) Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Комментарии:



Найти задачу

По номеру с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)
По порядковому номеру в текущем разделе
(от 1 до 1087)
По словам
Искать во всех разделах

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X Теорема об окружности, описанной около треугольника.
Около любого треугольника можно описать окружность.
Центр описанной окружности выпуклого n-угольника (а треугольник таковым и является) лежит в точке пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Как следствие: если рядом с n-угольником описана окружность, то все серединные перпендикуляры к его сторонам пересекаются в одной точке (центре окружности). Центр описанной окружности.
 1) У остроугольного треугольника центр описанной окружности лежит внутри
2) У тупоугольного — вне треугольника
3) У прямоугольного — на середине гипотенузы.
X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:


Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2021. Все права защищены. Яндекс.Метрика