Юмор

Автор: Таська
Так выглядит современная программа обучения.
Решите задачу: летят по небу два верблюд...читать далее

ОГЭ/ГИА

ЕГЭ (базовый уровень)

Числа и вычисления

Алгебраические выражения

Уравнения и неравенства

Числовые последовательности

Функции

Координаты на прямой и плоскости

Геометрия

Статистика и теория вероятностей

Алгебра

Уравнения и неравенства

Функции

Начала математического анализа

Геометрия

Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятностей

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №0CDF34

Задача №750 из 1084
Условие задачи:

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=19 и CD=28 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Решение задачи:

Вариант №1 (предложил пользователь Всеволод).
Проведем BE||AC
ABCE - трапеция по определению.
Так как эта трапеция вписана в окружность, то данная трапеция равнобедренная (по свойству описанной окружности).
Следовательно EC=AB=19.
∠AKB=∠KBE=60°, т.к. это накрест лежащие углы при параллельных прямых BE и AC.
BECD - четырехугольник, вписанный в окружность, следовательно:
∠ECD+∠KBE=180° (по свойству).
∠ECD=180°-∠KBE=180°-60°=120°
Применим теорему косинусов для треугольника CDE:
ED2=EC2+CD2-2*EC*CD*cos∠ECD
ED2=192+282-2*19*28*cos120°
ED2=361+784-2*19*28*(-1/2)
ED2=1145+532=1677
ED=√1677
А теперь применим теорему синусов для треугольника CDE:
ED/sin∠ECD=2R
R=√1677/(2*sin120°)=√1677/(2*√3/2)=√1677/√3=√1677/3=√559
Ответ: R=√559

Вариант №2
Пусть R - радиус окружности.
Рассмотрим треугольник BCA.
Этот треугольник вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
AB/sin(∠BCA)=2R
AB=2Rsin(∠BCA)
Рассмотрим треугольник BCD.
Этот треугольник тоже вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
CD/sin(∠CBD)=2R
CD=2Rsin(∠CBD)
Рассмотрим треугольник BCK.
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CBD+∠BCA+∠CKB=180°
∠AKB - является смежным по отношению к ∠CKB, следовательно ∠CKB=180°-∠AKB. Подставляем в уравнение выше:
∠CBD+∠BCA+(180°-∠AKB)=180°
∠CBD+∠BCA+(180°-60°)=180°
∠CBD+∠BCA=60°
Для простоты обозначим ∠BCA=а и ∠CBD=b, т.е. a+b=60°
a=60°-b
19=AB=2Rsin(a)
28=CD=2Rsin(60°-a)=2R(sin60°cos(a)-cos60°sin(a))=2R((√3/2)*cos(a)-(1/2)*sin(a))=R(√3cos(a)-sin(a)) (применена тригонометрическая формула)
Разделим второе уравнение на первое:
28/19=R(√3cos(a)-sin(a))/(2Rsin(a))
28/19=(√3cos(a)-sin(a))/(2sin(a))
28*2sin(a)=19*(√3cos(a)-sin(a))
56sin(a)=19√3cos(a)-19sin(a)
75sin(a)=19√3cos(a)
Возведем правую и левую части в квадрат:
5625sin2(a)=361*3cos2(a)
1875sin2(a)=361(1-sin2(a)) (применена основная тригонометрическая формула)
1875sin2(a)=361-361sin2(a)
2236sin2(a)=361
sin2(a)=361/2236
sin(a)=√361/2236
sin(a)=19/√2236
19=2R*19/√4*559)
1=2R/(2√559)
R=√559
Ответ: R=√559

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №45BF27

Площадь прямоугольного треугольника равна 98√3/3. Один из острых углов равен 30°. Найдите длину катета, прилежащего к этому углу.

Задача №310EA3

Проектор полностью освещает экран A высотой 190 см, расположенный на расстоянии 210 см от проектора. Найдите, на каком наименьшем расстоянии от проектора нужно расположить экран B высотой 380 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными. Ответ дайте в сантиметрах.

Задача №58CE70

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3) Квадрат диагонали прямоугольника равен сумме квадратов двух его смежных сторон.

Задача №3F6C6B

Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=6, CK=10.

Задача №1113A9

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
2) Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
3) Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.

Комментарии:

Найти задачу

По номеру с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)
По порядковому номеру в текущем разделе
(от 1 до 1084)
По словам
Искать во всех разделах

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2019. Все права защищены. Яндекс.Метрика