ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №0CDF34

Задача №750 из 1084
Условие задачи:

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=19 и CD=28 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Решение задачи:

Вариант №1 (предложил пользователь Всеволод).
Проведем BE||AC
ABCE - трапеция по определению.
Так как эта трапеция вписана в окружность, то данная трапеция равнобедренная (по свойству описанной окружности).
Следовательно EC=AB=19.
∠AKB=∠KBE=60°, т.к. это накрест лежащие углы при параллельных прямых BE и AC.
BECD - четырехугольник, вписанный в окружность, следовательно:
∠ECD+∠KBE=180° (по свойству).
∠ECD=180°-∠KBE=180°-60°=120°
Применим теорему косинусов для треугольника CDE:
ED²=EC²+CD²-2*EC*CD*cos∠ECD
ED²=19²+28²-2*19*28*cos120°
ED²=361+784-2*19*28*(-1/2)
ED²=1145+532=1677
ED=√1677
А теперь применим теорему синусов для треугольника CDE:
ED/sin∠ECD=2R
R=√1677/(2*sin120°)=√1677/(2*√3/2)=√1677/√3=√1677/3=√559
Ответ: R=√559

Вариант №2

Пусть R - радиус окружности.
Рассмотрим треугольник BCA.
Этот треугольник вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
AB/sin(∠BCA)=2R
AB=2Rsin(∠BCA)
Рассмотрим треугольник BCD.
Этот треугольник тоже вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
CD/sin(∠CBD)=2R
CD=2Rsin(∠CBD)
Рассмотрим треугольник BCK.
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CBD+∠BCA+∠CKB=180°
∠AKB - является смежным по отношению к ∠CKB, следовательно ∠CKB=180°-∠AKB. Подставляем в уравнение выше:
∠CBD+∠BCA+(180°-∠AKB)=180°
∠CBD+∠BCA+(180°-60°)=180°
∠CBD+∠BCA=60°
Для простоты обозначим ∠BCA=а и ∠CBD=b, т.е. a+b=60°
a=60°-b
19=AB=2Rsin(a)
28=CD=2Rsin(60°-a)=2R(sin60°cos(a)-cos60°sin(a))=2R((√3/2)*cos(a)-(1/2)*sin(a))=R(√3cos(a)-sin(a)) (применена тригонометрическая формула)
Разделим второе уравнение на первое:
28/19=R(√3cos(a)-sin(a))/(2Rsin(a))
28/19=(√3cos(a)-sin(a))/(2sin(a))
28*2sin(a)=19*(√3cos(a)-sin(a))
56sin(a)=19√3cos(a)-19sin(a)
75sin(a)=19√3cos(a)
Возведем правую и левую части в квадрат:
5625sin²(a)=361*3cos²(a)
1875sin²(a)=361(1-sin²(a)) (применена основная тригонометрическая формула)
1875sin²(a)=361-361sin²(a)
2236sin²(a)=361
sin²(a)=361/2236
sin(a)=√361/2236
sin(a)=19/√2236
19=2R*19/√4*559)
1=2R/(2√559)
R=√559
Ответ: R=√559

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...