В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит через точки C и D и касается прямой AB в точке E. Найдите расстояние от точки E до прямой CD, если AD=16, BC=15.
По условию задачи AB перпендикулярна BC, следовательно перпендикулярна и AD (т.к. в
трапеции основания параллельны).
Расстояние от точки Е до прямой CD - отрезок, перпендикулярный CD и проходящий через точку Е.
Продолжим стороны AB и CD до пересечения в точке T.
Проведем CK параллельно AB.
AK=BС (т.к. ABKC -
прямоугольник).
KD=AD-AK=16-15=1
По
определению косинуса: cos∠CDK=KD/CD=1/CD
Рассмотрим треугольники TCB и CKD.
∠CTB=∠DCK (т.к. это
соответственные углы при параллельных прямых TA и CK)
∠TBC=∠CKD=90°
Следовательно, эти треугольники
подобны (по
первому признаку подобия).
Тогда, BC/KD=TC/CD
15/1=TC/CD
TC=15CD
По
теореме о касательно и секущей:
TE2=TD*TC=(TC+CD)*TC=(15CD+CD)15CD=16CD*15CD=240CD2
TE=CD√
Рассмотрим треугольники TEF и TAD.
∠CTB - общий
∠EFT=∠TAD=90°
Следовательно, применив
теорему о сумме углов треугольника, получаем, что ∠TEF=∠ADT.
Следовательно, cos∠TEF=cos∠ADT.
EF=TE*cos∠TEF=TE*cos∠ADT
Так как ∠ADT и ∠CDK это один и тот же угол, то подставляем ранее найденное значение cos∠CDK=1/CD.
EF=TE/CD=4CD√
Ответ: EF=4√
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
На клетчатой бумаге с размером клетки 1×1 изображён прямоугольный треугольник. Найдите длину его большего катета.
На каком расстоянии (в метрах) от фонаря стоит человек ростом 1,6 м, если длина его тени равна 8 м, высота фонаря 5 м?
Укажите номера верных утверждений.
1) Если один из углов треугольника прямой, то треугольник прямоугольный.
2) Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам.
3) Точка, равноудалённая от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.
Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади треугольника BKP к площади треугольника AMK.
Вершины треугольника делят описанную около него окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11. Найдите радиус окружности, если меньшая из сторон равна 14.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2017-03-17 02:08:01) Администратор: Карина, я добавил в решение пару строк, чтобы стало понятней.
(2017-03-16 11:04:30) Карина: Подскажите, пожалуйста, как получилось что TE*cos∠ADT=TE/CD?
(2017-02-20 21:18:33) Администратор: Марина, по теореме о касательной и секущей. Нажимайте на ссылки в тексте решения, будут показываться теоремы и определения, на которые я ссылаюсь при решении.
(2017-02-20 21:16:10) Марина: Скажите пожалуйста, почему TE2=TD*TC=(TC+CD)*ТС?
(2014-05-26 09:35:48) Администратор: Настя, по первому комментарию: указанные треугольники, конечно, подобны, но для решения подобие нам не интересно. Два угла одно треугольника равны двум углам другого треугольника, поэтому мы и применяем теорему о сумме углов треугольника, не используя подобие.
(2014-05-26 00:11:37) Настя: Спасибо большое за решение,оно мне очень помогло. Но есть один нюанс: треугольники TEF и TAD подобны по 2-м углам (как вы и указали), а потом уже по теореме о сумме углов треугольника получаем,что ∠TEF=∠ADT.