Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 18 и 30, а основание BC равно 3. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Проведем отрезок, параллельный основаниям, как показано на рисунке.
EF -
средняя линия трапеции, так как соединяет середины боковых сторон трапеции (по
теореме Фалеса).
∠ADE=∠DEF (так как это
накрест-лежащие углы при параллельных прямых EF и AD и секущей ED).
Получается, что ∠DEF=∠EDF (так как DE -
биссектриса).
Значит треугольник EFD -
равнобедренный (по
свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, EF=FD (по
определению).
EF=FD=CD/2=30/2=15
EF=(BC+AD)/2=15
(3+AD)/2=15
3+AD=30
AD=27
Дальше площадь трапеции можно найти разными способами:
1) Вычислить
высоту трапеции. И вычислить площадь через высоту
2) Вычислить площадь через стороны трапеции.
Первый вариант
Проведем
высоты как показано на рисунке.
MN=BC=3 (т.к. BCNM -
прямоугольник).
BM=CN=h
Обозначим AM как x, для удобства.
AD=AM+MN+ND
27=x+3+ND
ND=24-x
Для треугольника ABM запишем
теорему Пифагора:
AB2=h2+x2
182=h2+x2
h2=324-x2
Для треугольника CDN запишем
теорему Пифагора:
CD2=h2+ND2
302=h2+(24-x)2
900=h2+(24-x)2
Подставляем вместо h2 значение из первого уравнения:
900=324-x2+(24-x)2
900-324=-x2+242-2*24*x-x2
576=242-2*24*x
576=576-48x
48x=0
x=0, получается, что BM совпадает со стороной AB, т.е. AB является высотой трапеции.
Тогда площадь трапеции равна:
S=AB(AD+BC)/2=18(27+3)/2=9*30=270
Второй вариант
Площадь трапеции можно найти по
формуле.
Ответ: 270
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Диагональ прямоугольника образует угол 75° с одной из его сторон. Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника. Ответ дайте в градусах.
Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC
в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=7, CK=12.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 138°, угол CAD равен 83°. Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Найдите площадь трапеции, изображённой на рисунке.
Какие из следующих утверждений верны?
1) Средняя линия трапеции равна сумме её оснований.
2) Диагонали ромба перпендикулярны.
3) Площадь треугольника меньше произведения двух его сторон.
В ответ запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2015-03-05 20:29:43) Администратор: Евгений, согласен. Такой вариант тоже правильный.
(2015-03-05 18:18:09) Евгений: 18*18-X*X=30*30-(24-X)*(24-X)-решая это уравнение получим х=0
(2015-03-02 21:35:56) Администратор: Евгений, а почему х=0?
(2015-03-02 21:04:57) Евгений: Можно провести высоты из точек ВК и СМ. выразить эти высоты из прямоугольных треугольников АВК и СМD, обозначив сторону АК за х. Получится что х=о.То есть АВ перпендикулярно АD. И находим площадь.