ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №3B4B4B

Решение задачи:

Вариант №1
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=136/2=68.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). S_EDC=S_EDB=(BE*OD)/2=(136*68)/2=68*68=4624
S_ABE=(BE*AO)/2=(136*68)/2=4624
Т.е. S_ABE=S_EDC=S_EDB=4624
Тогда, S_ABС=3*4624=13872
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
S_ABD=(AD*BO)/2=S_ABC/2
(136*BO)/2=13872/2
BO=13872/136=102
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB²=BO²+AO²
AB²=102²+68²
AB²=10404+4624=15028
AB=√15028=√4*3757=√4*13*289=2*17*√13=34√13
BC=2AB=2*34√13=68√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=136-102=34
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE²=AO²+OE²
AE²=68²+34²=4624+1156=5780
AE=√5780=√4*5*289=2*17*√5=34√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
68√13/34√13=CE/(34√5)
2=CE/(34√5)
CE=68√5
AC=AE+CE=34√5+68√5=102√5
Ответ: AB=34√13, BC=68√13, AC=102√5

---

Вариант №2 (Предложил Всеволод).
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD и AO=OD=AD/2=136/2=68.
Проведём через точку C прямую, параллельную AD. Продлим BA и BE до пересечения с этой прямой в точках F и G соответственно.
AF=AB (по теореме Фалеса. AD и FC параллельны и разбивают BC на два отрезка 1:1, т.е. на равные отрезки, следовательно и BF они разобьют на равные отрезки).
Тогда получается, что:
AF=AB=BD=CD
Т.е. получается равнобедренный треугольник BCF со средней линией AD и медианами BG и CA, которые в точке пересечения E делятся в отношении 2:1 считая от вершин (по свойству медианы).
BE=136 (по условию задачи)
EG=BE/2=136/2=68
BG=BE+EG=136+68=204
BO=OG=BG/2=204/2=102
Рассмотрим треугольник ABO.
Он прямоугольный (по условию задачи), тогда по теореме Пифагора:
AB²=BO²+AO²
AB²=102²+68²
AB²=10404+4624
AB²=15028
AB=√15028=√1156*13=√1156*√13=34√13
BC=2AB=2*34√13=68√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=OG-EG=102-68=34.
AOE тоже прямоугольный, следовательно по теореме Пифагора:
AE²=AO²+OE²
AE²=68²+34²
AE²=4624+1156=5780
AE=√5780=√1156*5=34√5
EC=2AE=2*34√5=68√5 (мы ранее выяснили, что медианы делятся в отношении 2:1 начиная от вершины)
AC=AE+EC=34√5+68√5=102√5
Ответ: AB=34√13, BC=68√13, AC=102√5