ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №0CDF34

Задача №750 из 1087
Условие задачи:

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=19 и CD=28 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Решение задачи:

Вариант №1 (предложил пользователь Всеволод).
Проведем BE||AC
ABCE - трапеция по определению.
Так как эта трапеция вписана в окружность, то данная трапеция равнобедренная (по свойству описанной окружности).
Следовательно EC=AB=19.
∠AKB=∠KBE=60°, т.к. это накрест лежащие углы при параллельных прямых BE и AC.
BECD - четырехугольник, вписанный в окружность, следовательно:
∠ECD+∠KBE=180° (по свойству).
∠ECD=180°-∠KBE=180°-60°=120°
Применим теорему косинусов для треугольника CDE:
ED²=EC²+CD²-2*EC*CD*cos∠ECD
ED²=19²+28²-2*19*28*cos120°
ED²=361+784-2*19*28*(-1/2)
ED²=1145+532=1677
ED=√1677
А теперь применим теорему синусов для треугольника CDE:
ED/sin∠ECD=2R
R=√1677/(2*sin120°)=√1677/(2*√3/2)=√1677/√3=√1677/3=√559
Ответ: R=√559

Вариант №2

Пусть R - радиус окружности.
Рассмотрим треугольник BCA.
Этот треугольник вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
AB/sin(∠BCA)=2R
AB=2Rsin(∠BCA)
Рассмотрим треугольник BCD.
Этот треугольник тоже вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
CD/sin(∠CBD)=2R
CD=2Rsin(∠CBD)
Рассмотрим треугольник BCK.
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CBD+∠BCA+∠CKB=180°
∠AKB - является смежным по отношению к ∠CKB, следовательно ∠CKB=180°-∠AKB. Подставляем в уравнение выше:
∠CBD+∠BCA+(180°-∠AKB)=180°
∠CBD+∠BCA+(180°-60°)=180°
∠CBD+∠BCA=60°
Для простоты обозначим ∠BCA=а и ∠CBD=b, т.е. a+b=60°
a=60°-b
19=AB=2Rsin(a)
28=CD=2Rsin(60°-a)=2R(sin60°cos(a)-cos60°sin(a))=2R((√3/2)*cos(a)-(1/2)*sin(a))=R(√3cos(a)-sin(a)) (применена тригонометрическая формула)
Разделим второе уравнение на первое:
28/19=R(√3cos(a)-sin(a))/(2Rsin(a))
28/19=(√3cos(a)-sin(a))/(2sin(a))
28*2sin(a)=19*(√3cos(a)-sin(a))
56sin(a)=19√3cos(a)-19sin(a)
75sin(a)=19√3cos(a)
Возведем правую и левую части в квадрат:
5625sin²(a)=361*3cos²(a)
1875sin²(a)=361(1-sin²(a)) (применена основная тригонометрическая формула)
1875sin²(a)=361-361sin²(a)
2236sin²(a)=361
sin²(a)=361/2236
sin(a)=√361/2236
sin(a)=19/√2236
19=2R*19/√4*559)
1=2R/(2√559)
R=√559
Ответ: R=√559

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №D9D8CC

Найдите тангенс угла В треугольника ABC, изображённого на рисунке.

Задача №00048B

Какое из следующих утверждений верно?
1) Площадь квадрата равна произведению двух его смежных сторон.
2) Диагональ трапеции делит её на два равных треугольника.
3) Если две стороны одного треугольника соответственно равны двум сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Задача №F17BEE

Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 31 и 32, касаются сторон угла с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.