Юмор

Автор: Таська
Так выглядит современная программа обучения.
�...читать далее

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №0CDF34

Задача №750 из 1087
Условие задачи:

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=19 и CD=28 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Решение задачи:

Вариант №1 (предложил пользователь Всеволод).
Проведем BE||AC
ABCE - трапеция по определению.
Так как эта трапеция вписана в окружность, то данная трапеция равнобедренная (по свойству описанной окружности).
Следовательно EC=AB=19.
∠AKB=∠KBE=60°, т.к. это накрест лежащие углы при параллельных прямых BE и AC.
BECD - четырехугольник, вписанный в окружность, следовательно:
∠ECD+∠KBE=180° (по свойству).
∠ECD=180°-∠KBE=180°-60°=120°
Применим теорему косинусов для треугольника CDE:
ED²=EC²+CD²-2*EC*CD*cos∠ECD
ED²=19²+28²-2*19*28*cos120°
ED²=361+784-2*19*28*(-1/2)
ED²=1145+532=1677
ED=√1677
А теперь применим теорему синусов для треугольника CDE:
ED/sin∠ECD=2R
R=√1677/(2*sin120°)=√1677/(2*√3/2)=√1677/√3=√1677/3=√559
Ответ: R=√559

Вариант №2

Пусть R - радиус окружности.
Рассмотрим треугольник BCA.
Этот треугольник вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
AB/sin(∠BCA)=2R
AB=2Rsin(∠BCA)
Рассмотрим треугольник BCD.
Этот треугольник тоже вписан в окружность, тогда по теореме синусов:
CD/sin(∠CBD)=2R
CD=2Rsin(∠CBD)
Рассмотрим треугольник BCK.
По теореме о сумме углов треугольника:
∠CBD+∠BCA+∠CKB=180°
∠AKB - является смежным по отношению к ∠CKB, следовательно ∠CKB=180°-∠AKB. Подставляем в уравнение выше:
∠CBD+∠BCA+(180°-∠AKB)=180°
∠CBD+∠BCA+(180°-60°)=180°
∠CBD+∠BCA=60°
Для простоты обозначим ∠BCA=а и ∠CBD=b, т.е. a+b=60°
a=60°-b
19=AB=2Rsin(a)
28=CD=2Rsin(60°-a)=2R(sin60°cos(a)-cos60°sin(a))=2R((√3/2)*cos(a)-(1/2)*sin(a))=R(√3cos(a)-sin(a)) (применена тригонометрическая формула)
Разделим второе уравнение на первое:
28/19=R(√3cos(a)-sin(a))/(2Rsin(a))
28/19=(√3cos(a)-sin(a))/(2sin(a))
28*2sin(a)=19*(√3cos(a)-sin(a))
56sin(a)=19√3cos(a)-19sin(a)
75sin(a)=19√3cos(a)
Возведем правую и левую части в квадрат:
5625sin²(a)=361*3cos²(a)
1875sin²(a)=361(1-sin²(a)) (применена основная тригонометрическая формула)
1875sin²(a)=361-361sin²(a)
2236sin²(a)=361
sin²(a)=361/2236
sin(a)=√361/2236
sin(a)=19/√2236
19=2R*19/√4*559)
1=2R/(2√559)
R=√559
Ответ: R=√559

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №0A3F51

В треугольнике ABC биссектриса угла A делит высоту, проведенную из вершины B в отношении 17:15, считая от точки B. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC, если BC=16.

Задача №002D6D

Какое из следующих утверждений верно?
1) Все углы ромба равны.
2) Если стороны одного четырёхугольника соответственно равны сторонам другого четырёхугольника, то такие четырёхугольники равны.
3) Через любую точку, лежащую вне окружности, можно провести две касательные к этой окружности.

Найти задачу

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

Юмор

ОГЭ/ГИА

ЕГЭ (базовый уровень)

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №0CDF34

Задача №750 из 1087
Условие задачи:

Решение задачи:

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №0A3F51

Задача №002D6D

Задача №E29AAA

Задача №06F02D

Задача №D0E82E

Комментарии:

Найти задачу

Задайте вопрос по этой задаче.

Юмор

ОГЭ/ГИА

ЕГЭ (базовый уровень)

ОГЭ, Математика.Геометрия: Задача №0CDF34

Задача №750 из 1087Условие задачи:

Решение задачи:

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №0A3F51

Задача №002D6D

Задача №E29AAA

Задача №06F02D

Задача №D0E82E

Комментарии:

Найти задачу

Задайте вопрос по этой задаче.

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №0CDF34

Задача №750 из 1087
Условие задачи: