Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 31 и 32, касаются сторон угла с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Проведем несколько отрезков:
EH - радиус малой окружности. Он перпендикулярен AB (по
свойству касательной).
FG - радиус большой окружности. Он перпендикулярен AB (по
свойству касательной).
HG - отрезок, соединяющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку К.
Рассмотрим треугольники AFG и AEH:
∠EAH - общий;
углы AEH и AFG - прямые.
Следовательно эти треугольники
подобны, тогда:
FG/EH=AG/AH
FG/EH=(AH+HG)/AH
32/31=(AH+R+r)/AH
32AH=31(AH+63)
32AH-31AH=1953
AH=1953
sin∠EAH=EH/AH=31/1953=1/63
AK=AH+r=1953+31=1984
AK перпендикулярен BC, т.к. это продолжение большого и малого радиусов, а AB -
касательная (
свойство касательной). AK делит хорду AB пополам (по
свойству хорды).
Треугольник ABC -
равнобедренный, т.к. AK - и
медиана и
высота (
свойство равнобедренного треугольника).
Теперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем:
AK=1984
sinα=1/63
Так как AK -
биссектриса, то центр описанной окружности находится на AK.
Найдем AB.
По
теореме Пифагора:
AB2=AK2+BK2
AB2=AK2+(AB*sinα)2
AB2-AB2*sin2α=
19842
AB2(1-1/632)=19842
AB2(632-1)=632*19842
AB2=632*19842/(632-1)
Рассмотрим треугольник AOB.
AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник
равнобедренный.
Проведем высоту ON, в
равнобедренном треугольнике она так же является и
медианой (по
свойству равнобедренного треугольника).
sinα=ON/AO => ON=AO/63
По теореме
Пифагора:
AO2=ON2+AN2
AO2=AO2/632+(AB/2)2
AO2-AO2/632=AB2/4
AO2(1-1/632)=AB2/4
AO2((632-1)/632)=(632*19842/(632-1))/4
4AO2=632*19842/(632-1)/((632-1)/632)=632*19842*632/(632-1)2
2AO=632*1984/(632-1)
2AO=3969*1984/3968=3969/2=1984,5
AO=992,25
Ответ: 992,25
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
2) Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
3) Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.
Прямая касается окружности в точке K. Точка O – центр окружности. Хорда KM образует с касательной угол, равный 39°. Найдите величину угла OMK. Ответ дайте в градусах.
Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 39 и 42, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 10. Окружность радиуса 6 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.
Комментарии:
(2017-03-21 19:51:48) Администратор: Мария, конечно это опечатка, спасибо большое, что заметили. Исправлено.
(2017-03-19 18:42:33) Мария: АК не может быть перпендикулярен АВ!!! может быть ВС?