ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №55CB45

Задача №797 из 1087
Условие задачи:

Прямая, параллельная основаниям трапеции ABCD, пересекает её боковые стороны AB и CD в точках E и F соответственно. Найдите длину отрезка EF, если AD=42, BC=14, CF:DF=4:3.

Решение задачи:

Проведем высоты h₁ и h₂ как показано на рисунке.
Рассмотрим треугольники CFG и FDJ.
∠CGF=∠FJD=90° (т.к. мы проводили высоты).
∠CFG=∠FDJ (т.к. это соответственные углы).
Следовательно, эти треугольники подобны по первому признаку подобия.
По определению подобных треугольников:
CF/DF=CG/FJ=4/3
Для простоты обозначим:
CG=h₁
FJ=h₂
S_EBCF=(CB+EF)*h₁/2
S_AEFD=(EF+AD)*h₂/2
S_ABCD=(BC+AD)*(h₁+h₂)/2
Так сумма площадей этих трапеций равна площади большой трапеции, то запишем:
(CB+EF)*h₁/2+(EF+AD)*h₂/2=(BC+AD)*(h₁+h₂)/2
(CB+EF)*h₁+(EF+AD)*h₂=(BC+AD)*(h₁+h₂)
CB*h₁+EF*h₁+EF*h₂+AD*h₂=BC*h₁+BC*h₂+AD*h₁+AD*h₂
CB*h₁+EF*h₁-BC*h₁-AD*h₁=BC*h₂+AD*h₂-EF*h₂-AD*h₂
(CB+EF-BC-AD)*h₁=(BC+AD-EF-AD)*h₂
(EF-AD)*h₁=(BC-EF)*h₂
h₁/h₂=(BC-EF)/(EF-AD)
4/3=(14-EF)/(EF-42)
4(EF-42)=3(14-EF)
4*EF-168=42-3*EF
7*EF=210
EF=30
Ответ: EF=30