ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №A5F365

Задача №818 из 1087
Условие задачи:

В треугольнике ABC известны длины сторон AB=30, AC=100, точка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD, перпендикулярная прямой AO, пересекает сторону AC в точке D. Найдите CD.

Решение задачи:

Проведем дополнительный отрезок и введем обозначения как показано на рисунке:
Рассмотрим треугольники AEB и AFB.
∠BAE - общий
Треугольник AEB - прямоугольный, т.к. центр окружности лежит на стороне этого треугольника ( теорема об описанной окружности)
Т.е. ∠EBA=90°
∠AFB=90°, т.к. по условию AD ⊥ AE
Следовательно, по первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.
Тогда:
AE/AB=AB/AF => AE*AF=AB²
Рассмотрим треугольники AEC и AFD.
∠FAD - общий
∠ACE=90°, т.к. AE - диаметр окружности ( теорема об описанной окружности)
∠AFD=90°, т.к. по условию BD ⊥ AE
Следовательно, по первому признаку подобия треугольников, данные треугольники подобны.
Тогда:
AE/AD=AC/AF => AD=AE*AF/AC
Подставляем выше найденное равенство:
AD=AB²/AC=30²/100=9
CD=AC-AD=100-9=91
Ответ: 91

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №CBED59

В прямоугольном треугольнике ABC катет AC=25, а высота CH, опущенная на гипотенузу, равна 10√6. Найдите sin∠ABC.

Задача №C6A628

Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

Задача №296C71

На окружности отмечены точки A и B так, что меньшая дуга AB равна 66°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.