ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №BF030F

Задача №501 из 1087
Условие задачи:

Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 45 и 46, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.

Решение задачи:

Проведем несколько отрезков:
EH - радиус малой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной).
FG - радиус большой окружности. Он перпендикулярен AB (по свойству касательной).
HG - отрезок, соединяющий центры окружностей и равный R+r, так как он проходит через точку К.
Рассмотрим треугольники AFG и AEH:
∠EAH - общий;
углы AEH и AFG - прямые.
Следовательно эти треугольники подобны, тогда:
FG/EH=AG/AH
FG/EH=(AH+HG)/AH
46/45=(AH+R+r)/AH
46AH=45(AH+91)
46AH-45AH=4095
AH=4095
sin∠EAH=EH/AH=45/4095=1/91
AK=AH+r=4095+45=4140
AK перпендикулярен AB, т.к. это продолжение большого и малого радиусов, а AB - касательная ( свойство касательной) и делит хорду AB пополам (по свойству хорды).
Треугольник ABC - равнобедренный, т.к. AK - и медиана и высота ( свойство равнобедренного треугольника).
Теперь уберем из рисунка все, что нас больше не интересует и резюмируем, что мы знаем:
AK=4140
sinα=1/91
Так как AK - биссектриса, то центр описанной окружности находится на AK.
Найдем AB.
По теореме Пифагора:
AB²=AK²+BK²
AB²=AK²+(AB*sinα)²
AB²-AB²*sin²α= 4140²
AB²(1-1/91²)=4140²
AB²(91²-1)=91²*4140²
AB²=91²*4140²/(91²-1)
Рассмотрим треугольник AOB.
AO=OB, так как это радиусы окружности, следовательно данный треугольник равнобедренный.
Проведем высоту ON, в равнобедренном треугольнике она так же является и медианой (по свойству равнобедренного треугольника).
sinα=ON/AO=1/91 => ON=AO/91
По теореме Пифагора:
AO²=ON²+AN²
AO²=AO²/91²+(AB/2)²
AO²((91²-1)/91²)=91²*4140²/(91²-1)
AO²=91²*4140²/(91²-1)/((91²-1)/91²)=91²*4140²*91²/(91²-1)²
AO=91²*4140/(91²-1)
AO=8281*4140/8280=8281/2=4140,5
Ответ: Радиус описанной окружности равен 4140,5.