Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 27, тангенс угла BAC равен 9/40. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле R=(AC+CB-AB)/2. Для этого необходимо вычислить длины всех сторон данного треугольника.
Рассмотрим треугольник ABC.
По
определению tgBAC=CB/AC=9/40 => AC=40*CB/9.
По
теореме Пифагора AB2=AC2+CB2
AB2=(40*CB/9)2+CB2
AB2=1600*CB2/81+CB2
AB2=1681*CB2/81
AB=41*CB/9
Необходимо вычислить CB.
По
теореме о сумме углов треугольника для треугольника ABC:
/ABC=180°-90°-/BAC
Для треугольника BCP:
/ABC=180°-90°-/BCP
Следовательно, /BAC=/BCP.
Рассмотрим треугольник BCP.
По
определению tgBCP=BP/CP=9/40 => CP=40*BP/9.
По
теореме Пифагора CB2=CP2+BP2
CB2=(40*BP/9)2+BP2
CB2=1600*BP2/81+BP2
CB2=1681*BP2/81
CB=41*BP/9
BP=9*CB/41
r=(BP+CP-CB)/2
2*r=BP+40*BP/9-CB
2*27=49*BP/9-CB
54=(49/9)*9*CB/41-CB
54=49*CB/41-CB
54=8*CB/41
CB=54*41/8=276,75
Вычислив CB, мы можем вычислить AB и AC, указанные выше:
AB=41*CB/9=41*276,75/9=1260,75
AC=40*CB/9=40*276,75/9=1230
R=(AC+CB-AB)/2, тогда получаем:
R=(1230+276,75-1260,75)/2
R=246/2=123
Ответ: R=123.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника BMC.
В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 25, 8 и 7. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
В равностороннем треугольнике ABC точки M, N, K — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равносторонний.
К окружности с центром в точке O проведены касательная AB и секущая AO. Найдите радиус окружности, если AB=21, AO=75.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) На плоскости существует единственная точка, равноудалённая от концов отрезка.
2) В любой треугольник можно вписать окружность.
3) Если в параллелограмме две смежные стороны равны, то такой параллелограмм является ромбом.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2015-05-14 16:59:53) Администратор: Елена, я обязательно уточню еще раз эту информацию, спасибо.
(2015-05-13 01:18:56) Елена: И, кстати , решение задачи 573 как раз должно опираться на этот факт. В подобных треугольниках высоты, проведённые к соответственным сторонам, пропорциональны с тем же коэффициентом, что и коэффициент подобия этих треугольников. А вот факт, что отрезок СF(так вроде бы) является серединным перпендикуляром не доказан.
(2015-05-13 00:58:04) Елена: Я абсолютно согласна со Светланой. В подобных треугольниках все соответственные отрезки: высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружностей и т.д. относятся, как коэффициент подобия. Это доказанный факт. Это отмечено и в учебнике Атанасяна, и в учебнике Погорелова, и в учебнике Александрова
(2015-01-05 00:12:51) Администратор: Светлана, я согласен, что Ваше решение верно, но в решении можно опираться только на определения, аксиомы и теоремы. Поэтому надо математически показать утверждение "Поэтому и радиусы как вписанной, так и описанной окружностей в подобных треугольниках будут изменятся по коэффициенту подобия", просто так на него опираться нельзя...
(2015-01-04 20:06:17) Светлана: ВС и АВ - это гипотенузы рассматриваемых треугольников, поэтому их отношение равно коэффициенту подобия.
(2015-01-04 20:04:38) Светлана: Из подобия треугольников следует, что все отрезки одного подобного треугольника увеличиваются (или уменьшаются) в одно и тоже количество раз, соответственно коэффициенту подобия. (Как и на фотографии при ее увеличении/уменьшении при сохранении пропорций). Поэтому и радиусы как вписанной, так и описанной окружностей в подобных треугольниках будут изменятся по коэффициенту подобия.
(2014-09-26 14:48:58) Администратор: Светлана, я внимательно рассмотрел Ваше решение и возник один вопрос: почему из подобия треугольников следует утверждение, что BC:АВ = r1:r2? Эту пропорцию надо еще математически вывести, или есть соответствующая теорема?
(2014-07-31 10:31:11) Светлана: Еще раз о решении этой задачи. Рассмотрим треугольник ABC - он прямоугольный. Так как tgBAC=9/40=BC/AC. Обозначим BC=9x, AC=40x. По теореме Пифагора найдем AB. AB^2=BC^2+AC^2. AB=41x. Рассмотрим Треугольники АВС и BCP - они подобны по двум углам. Прямой угол и угол В- общий ADC - Поэтому BC:АВ = r1:r2 то есть r2=(41х*27):9х=123.
(2014-05-30 09:19:51) Администратор: Светлана, я рассмотрю Ваш вариант решения, если он окажется проще, то обязательно внесу его на сайт. Спасибо большое!
(2014-05-30 07:20:43) Светлана: Очень сложное решение. Достаточно найти через тангенс стороны треугольника АВС 40х, 9х и 41х. треугольники АВС и СРВ подобны, поэтому СВ:АВ = r1:r2 то есть r2=(41х*27):9х=123.