В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 192. Найдите стороны треугольника ABC.
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE -
биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по
второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD -
равнобедренный.
BO -
биссектриса этого треугольника, следовательно и
медиана, и
высота (по третьему
свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=192/2=96.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED -
медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму
свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(192*96)/2=96*96=9216
SABE=(BE*AO)/2=(192*96)/2=9216
Т.е.
SABE=SEDC=SEDB=9216
Тогда, SABС=3*9216=27648
AD -
медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по
второму свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(192*BO)/2=27648/2
BO=27648/192=144
Рассмотрим треугольник ABO, он
прямоугольный, тогда применим
теорему Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1442+962
AB2=20736+9216=29952
AB=√
BC=2AB=2*48√
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=192-144=48
Так как этот треугольник тоже
прямоугольный, то можно применить
теорему Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=962+482=9216+2304=11520
AE=√
Так как BE -
биссектриса, то используя ее
первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
96√
2=CE/(48√
CE=96√
AC=AE+CE=48√
Ответ: AB=48√
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 65° и 85°. Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 14.
Касательные в точках A и B к окружности с центром O пересекаются под углом 28°. Найдите угол ABO. Ответ дайте в градусах.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны 90°, то эти две прямые параллельны.
2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.
Проектор полностью освещает экран A высотой 80 см, расположенный на расстоянии 250 см от проектора. На каком наименьшем расстоянии (в сантиметрах) от проектора нужно расположить экран B высотой 160 см, чтобы он был полностью освещён, если настройки проектора остаются неизменными?
Боковая сторона трапеции равна 5, а один из прилегающих к ней углов равен 30°. Найдите площадь трапеции, если её основания равны 3 и 9.
Комментарии: