Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 27, тангенс угла BAC равен 9/40. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле R=(AC+CB-AB)/2. Для этого необходимо вычислить длины всех сторон данного треугольника.
Рассмотрим треугольник ABC.
По
определению tgBAC=CB/AC=9/40 => AC=40*CB/9.
По
теореме Пифагора AB2=AC2+CB2
AB2=(40*CB/9)2+CB2
AB2=1600*CB2/81+CB2
AB2=1681*CB2/81
AB=41*CB/9
Необходимо вычислить CB.
По
теореме о сумме углов треугольника для треугольника ABC:
/ABC=180°-90°-/BAC
Для треугольника BCP:
/ABC=180°-90°-/BCP
Следовательно, /BAC=/BCP.
Рассмотрим треугольник BCP.
По
определению tgBCP=BP/CP=9/40 => CP=40*BP/9.
По
теореме Пифагора CB2=CP2+BP2
CB2=(40*BP/9)2+BP2
CB2=1600*BP2/81+BP2
CB2=1681*BP2/81
CB=41*BP/9
BP=9*CB/41
r=(BP+CP-CB)/2
2*r=BP+40*BP/9-CB
2*27=49*BP/9-CB
54=(49/9)*9*CB/41-CB
54=49*CB/41-CB
54=8*CB/41
CB=54*41/8=276,75
Вычислив CB, мы можем вычислить AB и AC, указанные выше:
AB=41*CB/9=41*276,75/9=1260,75
AC=40*CB/9=40*276,75/9=1230
R=(AC+CB-AB)/2, тогда получаем:
R=(1230+276,75-1260,75)/2
R=246/2=123
Ответ: R=123.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Углы B и C треугольника ABC равны соответственно 66° и 84°.
Найдите BC, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 15.
Основание AC равнобедренного треугольника ABC равно 12. Окружность радиуса 7,5 с центром вне этого треугольника касается продолжения боковых сторон треугольника и касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Две окружности пересекаются, если радиус одной окружности больше радиуса другой окружности.
2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой внутренние накрест лежащие углы равны, то эти прямые параллельны.
3) У равнобедренного треугольника есть центр симметрии.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgB=3/4, BC=12. Найдите AC.
Какой угол (в градусах) описывает часовая стрелка за 2 минуты?
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2015-05-14 16:59:53) Администратор: Елена, я обязательно уточню еще раз эту информацию, спасибо.
(2015-05-13 01:18:56) Елена: И, кстати , решение задачи 573 как раз должно опираться на этот факт. В подобных треугольниках высоты, проведённые к соответственным сторонам, пропорциональны с тем же коэффициентом, что и коэффициент подобия этих треугольников. А вот факт, что отрезок СF(так вроде бы) является серединным перпендикуляром не доказан.
(2015-05-13 00:58:04) Елена: Я абсолютно согласна со Светланой. В подобных треугольниках все соответственные отрезки: высоты, медианы, биссектрисы, радиусы вписанной и описанной окружностей и т.д. относятся, как коэффициент подобия. Это доказанный факт. Это отмечено и в учебнике Атанасяна, и в учебнике Погорелова, и в учебнике Александрова
(2015-01-05 00:12:51) Администратор: Светлана, я согласен, что Ваше решение верно, но в решении можно опираться только на определения, аксиомы и теоремы. Поэтому надо математически показать утверждение "Поэтому и радиусы как вписанной, так и описанной окружностей в подобных треугольниках будут изменятся по коэффициенту подобия", просто так на него опираться нельзя...
(2015-01-04 20:06:17) Светлана: ВС и АВ - это гипотенузы рассматриваемых треугольников, поэтому их отношение равно коэффициенту подобия.
(2015-01-04 20:04:38) Светлана: Из подобия треугольников следует, что все отрезки одного подобного треугольника увеличиваются (или уменьшаются) в одно и тоже количество раз, соответственно коэффициенту подобия. (Как и на фотографии при ее увеличении/уменьшении при сохранении пропорций). Поэтому и радиусы как вписанной, так и описанной окружностей в подобных треугольниках будут изменятся по коэффициенту подобия.
(2014-09-26 14:48:58) Администратор: Светлана, я внимательно рассмотрел Ваше решение и возник один вопрос: почему из подобия треугольников следует утверждение, что BC:АВ = r1:r2? Эту пропорцию надо еще математически вывести, или есть соответствующая теорема?
(2014-07-31 10:31:11) Светлана: Еще раз о решении этой задачи. Рассмотрим треугольник ABC - он прямоугольный. Так как tgBAC=9/40=BC/AC. Обозначим BC=9x, AC=40x. По теореме Пифагора найдем AB. AB^2=BC^2+AC^2. AB=41x. Рассмотрим Треугольники АВС и BCP - они подобны по двум углам. Прямой угол и угол В- общий ADC - Поэтому BC:АВ = r1:r2 то есть r2=(41х*27):9х=123.
(2014-05-30 09:19:51) Администратор: Светлана, я рассмотрю Ваш вариант решения, если он окажется проще, то обязательно внесу его на сайт. Спасибо большое!
(2014-05-30 07:20:43) Светлана: Очень сложное решение. Достаточно найти через тангенс стороны треугольника АВС 40х, 9х и 41х. треугольники АВС и СРВ подобны, поэтому СВ:АВ = r1:r2 то есть r2=(41х*27):9х=123.