ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №FB6FF2

Задача №841 из 1087
Условие задачи:

Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.

Решение задачи:

По условию задачи ВМ - медиана треугольника АВС, следовательно, по свойству медианы, площади треугольников АВМ и ВСМ равны, и равны половине площади треугольника АВС.
S_ABM=S_BCM=(S_ABC)/2.
В свою очередь, AK является медианой для треугольника АВМ, следовательно, по тому же свойству медианы
S_ABК=S_AKM=(S_ABM)/2=(S_ABC)/4.
Проведем отрезок СК. СК является медианой для треугольника СМВ, следовательно,
S_CMK=S_CKB=(S_CMB)/2=(S_ABC)/4.
Проведем отрезок МЕ, параллельно АР. МЕ является средней линией для треугольника АРС, следовательно (по теореме о средней линии) СЕ=ЕР. А для треугольника МВЕ КР является средней линией, следовательно ВР=ЕР(=СЕ). Т.е. сторона ВС делится на три равные части точками Р и Е.
Проведем высоту h, как показано на рисунке. h является общей высотой для треугольников СКВ и СКР. Выше мы определили, что S_CKB=(S_ABC)/4. Площадь этого же треугольника =(1/2)*h*BC. S_CKP=(1/2)*h*РС=(1/2)*h*(2/3)*ВС=(2/3)*(1/2)*h*BC=(2/3)S_CKB=(2/12)S_ABC =(1/6)S_ABC.
S_KPCM=S_CMK+S_CKP=(S_ABC)/4+(1/6)S_ABC=(5/12)S_ABC. Следовательно отношение S_KPMC к S_AMK равно ((5/12)S_ABC)/(1/4)S_ABC=5/3.
Ответ: S_KPMC/S_AMK=5/3.