ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №26768F

Задача №791 из 1084
Условие задачи:

В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 67. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.

Решение задачи:

Вариант №1
MN - средняя линия треугольника ABC, по теореме о средней линии NM=AB/2 => 2NM=AB.
Проведем высоту из вершины С.
S_CNM=1/2*CE*NM=67 (по условию).
CE*NM=134
Рассмотрим треугольник ACD, NE||AD и идет из середины стороны AC, следовательно NE - средняя линия для треугольника ACD, значит CE=ED.
ABMN - трапеция (по определению), тогда
S_ABMN=(NM+AB)/2*ED. Подставляем ранее выявленные равенства, получаем:
S_ABMN=(NM+2NM)/2*CE=3NM/2*CE=1,5NM*CE=1,5*134=201
Ответ: 201

Вариант №2 (Прислал пользователь Артем)

MN - средняя линия треугольника ABC, по теореме о средней линии MN=AF=FB.
Проведем два отрезка от середины AB к точкам N и M, как показано на рисунке.
FN и FM - тоже являются средними линиями, следовательно:
FN=CM=BM и FM=AN=CN
Заметим, что треугольники ANF, CNM, MBF и NMF равны друг другу по третьему признаку равенства треугольников.
S_ABNM=S_ANF+S_NMF+S_MBF=S_CNM+S_CNM+S_CNM=3*S_CNM=3*67=201
Ответ: 201

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...