ОГЭ, Математика. Геометрия: Задача №3B4B4B | Ответ-Готов 



Юмор

Автор: Таська
Так выглядит современная программа обучения.
...читать далее

ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №3B4B4B

Задача №716 из 1084
Условие задачи:

В треугольнике ABC биссектриса BE и медиана AD перпендикулярны и имеют одинаковую длину, равную 136. Найдите стороны треугольника ABC.

Решение задачи:

Вариант №1
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=136/2=68.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). SEDC=SEDB=(BE*OD)/2=(136*68)/2=68*68=4624
SABE=(BE*AO)/2=(136*68)/2=4624
Т.е. SABE=SEDC=SEDB=4624
Тогда, SABС=3*4624=13872
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
SABD=(AD*BO)/2=SABC/2
(136*BO)/2=13872/2
BO=13872/136=102
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1022+682
AB2=10404+4624=15028
AB=15028=4*3757=4*13*289=2*17*13=3413
BC=2AB=2*3413=6813
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=136-102=34
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=682+342=4624+1156=5780
AE=5780=4*5*289=2*17*5=345
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
6813/3413=CE/(345)
2=CE/(345)
CE=685
AC=AE+CE=345+685=1025
Ответ: AB=3413, BC=6813, AC=1025


Вариант №2 (Предложил Всеволод).
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD и AO=OD=AD/2=136/2=68.
Проведём через точку C прямую, параллельную AD. Продлим BA и BE до пересечения с этой прямой в точках F и G соответственно.
AF=AB (по теореме Фалеса. AD и FC параллельны и разбивают BC на два отрезка 1:1, т.е. на равные отрезки, следовательно и BF они разобьют на равные отрезки).
Тогда получается, что:
AF=AB=BD=CD
Т.е. получается равнобедренный треугольник BCF со средней линией AD и медианами BG и CA, которые в точке пересечения E делятся в отношении 2:1 считая от вершин (по свойству медианы).
BE=136 (по условию задачи)
EG=BE/2=136/2=68
BG=BE+EG=136+68=204
BO=OG=BG/2=204/2=102
Рассмотрим треугольник ABO.
Он прямоугольный (по условию задачи), тогда по теореме Пифагора:
AB2=BO2+AO2
AB2=1022+682
AB2=10404+4624
AB2=15028
AB=15028=1156*13=1156*13=3413
BC=2AB=2*3413=6813
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=OG-EG=102-68=34.
AOE тоже прямоугольный, следовательно по теореме Пифагора:
AE2=AO2+OE2
AE2=682+342
AE2=4624+1156=5780
AE=5780=1156*5=345
EC=2AE=2*345=685 (мы ранее выяснили, что медианы делятся в отношении 2:1 начиная от вершины)
AC=AE+EC=345+685=1025
Ответ: AB=3413, BC=6813, AC=1025

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'


Другие задачи из этого раздела



Задача №3B5D8B

На клетчатой бумаге с размером клетки 1x1 изображён ромб. Найдите площадь этого ромба.



Задача №DFC557

Найдите тангенс угла В треугольника ABC, изображённого на рисунке.



Задача №5989C4

Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Через две различные точки на плоскости проходит единственная прямая.
2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3) У равностороннего треугольника три оси симметрии.



Задача №0D90BE

Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 38°, 78° и 64°.



Задача №279FA8

На рисунке изображён колодец с «журавлём». Короткое плечо имеет длину 2 м, а длинное плечо — 6 м. На сколько метров опустится конец длинного плеча, когда конец короткого поднимется на 0,5 м?

Комментарии:



Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:


Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2019. Все права защищены. Яндекс.Метрика