Решение задачи:

Проведем отрезок B₁C₁ и рассмотрим треугольники EB₁C и EC₁B.
∠C₁EB=∠B₁EC (так как они вертикальные).
∠EB₁C=∠EC₁B=90° (так как BB₁ и CC₁ - высоты).
По первому признаку подобия треугольников, рассматриваемые треугольники подобны.
Следовательно:
EB₁/EC₁=EC/EB
Рассмотрим треугольники EС₁B₁ и ECB
∠BEC=∠B₁EC₁ (так как они вертикальные).
Как мы выяснили ранее:
EB₁/EC₁=EC/EB
Умножим левую и правую части равенства на EC₁, получим:
EB₁=EC₁*EC/EB
Разделим левую и правую части на EC, получаем:
EB₁/EC=EC₁/EB
Получается, что по второму признаку подобия треугольников, треугольники EС₁B₁ и ECB подобны.
Следовательно, по определению, углы BB₁C₁ и BCC₁ равны.