Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен 4/3. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Радиус вписанной окружности можно вычислить по формуле R=(AC+CB-AB)/2. Для этого необходимо вычислить длины всех сторон данного треугольника.
Рассмотрим треугольник ABC.
По
определению tgBAC=CB/AC=4/3 => AC=3*CB/4.
По
теореме Пифагора AB2=AC2+CB2
AB2=(3*CB/4)2+CB2
AB2=9*CB2/16+CB2
AB2=25*CB2/16
AB=5*CB/4
Необходимо вычислить CB.
По
теореме о сумме углов треугольника для треугольника ABC:
/ABC=180°-90°-/BAC
Для треугольника BCP:
/ABC=180°-90°-/BCP
Следовательно, /BAC=/BCP.
Рассмотрим треугольник BCP.
По
определению tgBCP=BP/CP=4/3 => CP=3*BP/4.
По
теореме Пифагора CB2=CP2+BP2
CB2=(3*BP/4)2+BP2
CB2=9*BP2/19+BP2
CB2=25*BP2/16
CB=5*BP/4
BP=4*CB/5
r=(BP+CP-CB)/2
2*r=BP+3*BP/4-CB
2*8=7*BP/4-CB
16=7*(4*CB/5)/4-CB
16=(7*4)*CB/(5*4)-CB
16=7*CB/5-CB
16=2*CB/5 |:2
8=CB/5
CB=8*5=40
Вычислив CB, мы можем вычислить AB и AC, указанные выше:
AB=5*CB/4=5*40/4=5*10=50
AC=3*CB/4=3*40/4=3*10=30
R=(AC+CB-AB)/2, тогда получаем:
R=(30+40-50)/2=20/2=10
Ответ: R=10.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Точка крепления троса, удерживающего флагшток в вертикальном положении, находится на высоте 15 м от земли. Расстояние от основания флагштока до места крепления троса на земле равно 8 м. Найдите длину троса.
В треугольнике ABC известно, что AB=5, BC=7, AC=9. Найдите cos∠ABC.
Точка О – центр окружности, /BOC=110° (см. рисунок). Найдите величину угла BAC (в градусах).
Из точки А проведены две касательные к окружности с центром в точке О. Найдите расстояние от точки А до точки О, если угол между касательными равен
60°, а радиус окружности равен 6.
Человек, рост которого равен 1,8 м, стоит на расстоянии 11 м от уличного фонаря. При этом длина тени человека равна 9 м. Определите высоту фонаря (в метрах).
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2015-02-02 18:44:10) Марина: Первый способ решения приводит к верному ответу, хотя используется теорема синусов. Как известно теорема синусов связывает зависимостью стороны, синусы и радиус ОПИСАННОЙ окружности треугольника, что и видно в решении (2R=AB). А нам нужен радиус вписанной окружности.
(2015-02-01 14:19:29) Администратор: Марина, да, Вы правы, изучу как это получилось...
(2015-02-01 11:51:37) Марина: Первый способ решения приводит к верному ответу, хотя используется теорема синусов. Как известно теорема синусов связывает зависимостью стороны, синусы и радиус ОПИСАННОЙ окружности треугольника, что и видно в решении (2R=AB). А нам нужен радиус вписанной окружности.