ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №603AAE

Задача №601 из 1084
Условие задачи:

Высоты остроугольного треугольника ABC, проведённые из точек B и C, продолжили до пересечения с описанной окружностью в точках B₁ и C₁. Оказалось, что отрезок B₁C₁ проходит через центр описанной окружности. Найдите угол BAC.

Решение задачи:

∠BAC является вписанным углом и опирается на малую дугу CB.
Проведем отрезок CB₁, ∠CB₁B тоже является вписанным и опирается на ту же дугу, следовательно, ∠BAC=∠CB₁B.
B₁C₁ является диаметром окружности, так как проходит через ее центр. Следовательно, B₁C₁ делит окружность на две дуги по 180°
∠B₁CC₁ тоже вписанный и опирается на дугу в 180°, по теореме о вписанном угле ∠B₁CC₁=180°/2=90°.
Обозначим еще три точки, как показано на рисунке ниже:
Точки E и F - точки пересечения высот и сторон треугольника ABC, G - точка пересечения высот.
Рассмотрим треугольники B₁CG и BFG.
∠CGB₁=∠BGF (так как они вертикальные).
∠B₁CG=∠BFG (так как они оба прямые).
Следовательно, по теореме о сумме углов треугольника, ∠СB₁G=∠GBF
Следовательно, ∠GBF так же равен и ∠BAC
Рассмотрим треугольник AEB.
∠AEB=90° (так как BE - высота).
∠BAC=∠GBF
Тогда, используя теорему о сумме углов треугольника получаем, что каждый из углов BAC и GBF равен по 45°.
Ответ: ∠BAC=45°