Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Рассмотрим
трапецию ACO1O2
Данная трапеция
прямоугольная, т.к. радиусы перпендикулярны
касательной AC (по
свойству касательной).
Проведем O2K параллельно AC, O2K=AC, т.к. ACKO2 -
прямоугольник.
По
теореме Пифагора:
(O1O2)2=(O2K)2+(KO1)2
(R+r)2=(O2K)2+(R-r)2
(100+25)2=(O2K)2+(100-25)2
15625=(O2K)2+5625
(O2K)2=10000
O2K=100=AC
Рассмотрим треугольники OAO2 и OCO1 (cм. Рис.1).
∠AOO2 - общий
∠OAO2=∠OCO1=90°
Следовательно эти треугольники
подобны (по
первому признаку подобия треугольников).
Тогда, R/r=OC/OA
100/25=OC/AO=(AO+AC)/AO
4AO=AO+100
3OA=100
OA=100/3
Из
подобия этих же треугольников:
R/r=O10/O2O
R/r=(O2O+R+r)/O2O
100/25=(O2O+100+25)/O2O
4(O2O)=O2O+125
3(O2O)=125
O2O=125/3
Обозначим угол ∠AOO2 как α
cosα=OA/OO2=(100/3)/(125/3)=100/125=0,8
Посмотрим на треугольники OAE и OCF.
Они
прямоугольные по
второму свойству хорды.
Тогда для треугольника OAE:
cosα=OE/OA
OE=OA*cosα=(100/3)*0,8=80/3
Для треугольника OCF:
cosα=OF/OC
OF=OC*cosα=(OA+AC)*cosα=
(100/3+100)*0,8=80/3+80=(80+3*80)/3=320/3
EF=OF-OE=320/3-80/3=240/3=80
Ответ: EF=80
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Катеты прямоугольного треугольника равны √
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) В любом прямоугольнике диагонали взаимно перпендикулярны.
3) У равностороннего треугольника есть центр симметрии.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Вокруг любого треугольника можно описать окружность.
2) Если при пересечении двух прямых третьей прямой сумма внутренних односторонних углов равна
180°, то эти прямые параллельны.
3) Площадь треугольника не превышает произведения двух его сторон.
В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.
Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=66, AC=44, MN=24. Найдите AM.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии: