ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №465DF5

Задача №561 из 1084
Условие задачи:

Найдите тангенс угла AOB.

Решение задачи:

Вариант №1 (Прислал пользователь Евгений)
Проведем отрезок AB.
Найдем каждую сторону треугольника ABO по теореме Пифагора:
AO²=10²+8²
AO²=100+64=164
AO=√164
AB²=9²+1²
AB²=81+1=82
AB=√82
BO²=9²+1²
BO²=81+1=82
BO=√82
По теореме косинусов:
AB²=AO²+BO²-2AO*BO*cos∠AOB
(√82 )²=(√164 )²+(√82)²-2*√164*√82*cos∠AOB
82=164+82-2√164*82*cos∠AOB
-164=-2√13448*cos∠AOB
82=√4*3362*cos∠AOB
82=2√41*82*cos∠AOB
41=√41*82*cos∠AOB
cos∠AOB=41/√41*82=(√41)²/√41*82=√41/√82=√41/√41*2= 1/√2
По основной тригонометрической формуле:
sin²∠AOB+cos²∠AOB=1
sin²∠AOB+(1/√2)²=1
sin²∠AOB+1/2=1
sin²∠AOB=1/2
sin∠AOB=1/√2
tg∠AOB=sin∠AOB/cos∠AOB=(1/√2)/(1/√2)=1
Ответ: tg∠AOB=1

Вариант №2

Достроим чертеж до двух прямоугольных треугольников. Найдем тангенсы для обоих треугольников для их углов О.
1) Для синего треугольника: tgα=9/1=9
2) Для красного треугольника: tgβ=8/10=0,8
Есть тригонометрическая формула:
tg(α-β)=(tgα-tgβ)/(1+tgα*tgβ)
Вычисляем:
tg∠AOB=tg(α-β)=(9-0,8)/(1+9*0,8)=8,2/8,2=1
Ответ: tg∠AOB=1

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №0BB6A2

Какое наибольшее число коробок в форме прямоугольного параллелепипеда размером 30Х40Х50 (см) можно поместить в кузов машины размером 3Х2Х3,5 (м)?

Задача №1C1CFA

Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 45° и 150°, а CD=32.

Задача №7DB8D7

Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√2, √5 и 1 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.