ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №53152C

Задача №554 из 1087
Условие задачи:

В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.

Решение задачи:

По свойству касательной:
OF - радиус окружности, т.к. OF проходит через центр окружности и перпендикулярен касательной AC.
AG=AF
BG=BH=x
CH=CF=y
AF найдем по теореме Пифагора:
AO²=AF²+OF²
5²=AF²+3²
25=AF²+9
AF²=16
AF=4=AG
EH - высота параллелограмма. EH=OH+OE=3+4=7
S_ABC=p*r, где p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.
p=(AB+BC+AC)/2.
Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
AD=BC и AB=CD (по свойству параллелограмма).
AC - общая сторона.
Следовательно, по третьему признаку равенства треугольников, данные треугольники равны.
Тогда: S_ABCD=2*S_ABC
И в тоже время S_ABCD=EH*AD.
Приравняем полученные равенства:
p*r=EH*AD/2
(AB+BC+AC)/2*r=EH*BC/2
(AG+GB+BH+HC+CF+AF)*r=EH*(BH+HC)
(4+x+x+y+y+4)*3=7*(x+y)
(8+2x+2y)*3=7*(x+y)
24+3(2x+2y)=7*(x+y)
24+6(x+y)=7*(x+y)
24=x+y
x+y=24=BC=AD
S_ABCD=EH*AD=7*24=168
Ответ: S_ABCD=168

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Другие задачи из этого раздела

Задача №1B3298

В параллелограмме АВСD точки E, F, K и М лежат на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ = CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.

Задача №1DDC04

В треугольнике ABC AC=BC. Внешний угол при вершине B равен 121°. Найдите угол C. Ответ дайте в градусах.

Задача №01130C

Стороны AC, AB, BC треугольника ABC равны 2√5, √11 и 2 соответственно. Точка K расположена вне треугольника ABC, причём отрезок KC пересекает сторону AB в точке, отличной от B. Известно, что треугольник с вершинами K, A и C подобен исходному. Найдите косинус угла AKC, если ∠KAC>90°.