Решение задачи:

Рассмотрим трапецию ACO₁O₂
Данная трапеция прямоугольная, т.к. радиусы перпендикулярны касательной AC (по свойству касательной).
Проведем O₂K параллельно AC, O₂K=AC, т.к. ACKO₂ - прямоугольник. По теореме Пифагора:
(O₁O₂)²=(O₂K)²+(KO₁)²
(R+r)²=(O₂K)²+(R-r)²
(33+3)²=(O₂K)²+(33-3)²
1296=(O₂K)²+900
(O₂K)²=396
O₂K=6√11=AC
Рассмотрим треугольники OAO₂ и OCO₂ (cм. Рис.1).
∠AOO₂ - общий
∠OAO₂=∠OCO₁=90°
Следовательно эти треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).
Тогда, R/r=OC/OA
33/3=OC/OA=(OA+AC)/OA
11OA=OA+6√11
OA=6√0,11
Из подобия этих же треугольников:
R/r=O₁0/O₂O
R/r=(O₂O+R+r)/O₂O
33/3=(O₂O+33+3)/O₂O
11(O₂O)=O₂O+36
10(O₂O)=36
O₂O=3,6
Обозначим угол ∠AOO₂ как α
cosα=OA/OO₂=6√0,11/3,6=√0,11/0,6
Посмотрим на треугольники OAE и OCF.
Они прямоугольные по второму свойству хорды.
Тогда для треугольника OAE:
cosα=OE/OA
OE=OA*cosα=6√0,11*√0,11/0,6=0,11/0,1=1,1
Для треугольника OCF:
cosα=OF/OC
OF=OC*cosα=(OA+AC)*cosα=(6√0,11+6√11)*√0,11/0,6=(6√0,11+60√0,11)*√0,11/0,6=66√0,11*√0,11/0,6=66*0,11/0,6=12,1
EF=OF-OE=12,1-1,1=11
Ответ: EF=11