Юмор

Автор: Катя
- Вовочка, у тебя в кармане сто рублей, ты попросил у отца еще сто, сколько у тебя будет д...читать далее

ОГЭ, 9-й класс. Математика: Алгебраические выражения


Задача №281 из 295. Номер задачи на WWW.FIPI.RU - 681B15


Решите уравнение (x2-25)2+(x2+2x-15)2=0.

Решение задачи:

Можно попробовать раскрыть скобки, мы получим уравнение четверной степени, решение которого может быть довольно сложным. Поэтому предлагается два других варианта решения.
Вариант №1 (предложил пользователь Людмила)
Внимательно посмотрим на уравнение. Оно представляет из себя сумму квадратов равных нулю. Квадрат любого числа положителен. Следовательно, сумма квадратов равна нулю, когда каждый квадрат равен нулю. Получается система уравнений:

Так как квадрат равен нулю, то и число под квадратом равно нулю:

Осталось решить каждое уравнение по отдельности, и корень, который удовлетворяет обоим уравнениям, и будет решением системы.
1) x2-25=0
x2-52=0
Воспользуемся формулой разность квадратов:
(x-5)(x+5)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому:
x1=5
x2=-5
Это корни первого уравнения.
2) x2+2x-15=0
Найдем корни этого квадратного уравнения через дискриминант:
D=22-4*1*(-15)=4+60=64
x1=(-2+8)/(2*1)=6/2=3
x2=(-2-8)/(2*1)=-10/2=-5
Это корни второго уравнения.
Для обоих уравнений есть общий корень x=-5. Это и есть решение системы уравнений и решение первоначального уравнения.
Ответ: -5


Вариант №2
(x2-25)2+(x2+2x-15)2=0
В первом слагаемом воспользуемся формулой разность квадратов:
(x2-52)2+(x2+2x-15)2=0
((x-5)(x+5))2+(x2+2x-15)2=0
По первому правилу работы со степенями:
(x-5)2(x+5)2+(x2+2x-15)2=0
Теперь попробуем второе слагаемое подвести к той же формуле (разность квадратов):
(x-5)2(x+5)2+(x2+2x+(1-16))2=0
(x-5)2(x+5)2+(x2+2x+1-16)2=0
Это сделано, чтобы получить внутри скобки выражение x2+2x+1, которое можно преобразовать по формуле квадрат суммы:
(x-5)2(x+5)2+((x+1)2-16)2=0
(x-5)2(x+5)2+((x+1)2-42)2=0
Теперь видно, что можно опять воспользоваться формулой разность квадратов, где первый член (x+1), а второй 4:
(x-5)2(x+5)2+((x+1-4)(x+1+4))2=0
(x-5)2(x+5)2+((x-3)(x+5))2=0
Опять воспользуемся первым правилом работы со степенями:
(x-5)2(x+5)2+(x-3)2(x+5)2=0
Заметим, что и в первом и во втором слагаемом есть множитель (x+5)2, вынесем его за общую скобку:
(x+5)2((x-5)2+(x-3)2)=0
Получили произведение двух множителей. Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому рассмотрим два варианта. Приравняем каждый множитель нулю:
1) (x+5)2=0
x+5=0
x1=-5
2) (x-5)2+(x-3)2=0
Раскроем обе скобки по формуле квадрат разности:
x2-2*x*5+52+x2-2*x*3+32=0
x2-10x+25+x2-6x+9=0
2x2-16x+34=0
Чтобы было легче считать, сократим уравнение на 2:
2x2-16x+34=0 |:2
x2-8x+17=0
Решим это квадратное уравнение через дискриминант:
D=(-8)2-4*1*17=64-68=-4
Дискриминант меньше нуля, следовательно данное квадратное уравнение не имеет корней. Т.е. остался только одно значение, которое мы нашли в п.1).
Ответ: -5

Поделитесь решением

Присоединяйтесь к нам...

Вы можете поблагодарить автора, написать свои претензии или предложения на странице 'Про нас'

Комментарии:


(2018-10-09 12:01:40) Администратор: Людмила, Вы правы, я обязательно добавлю такой вариант решения.
(2018-10-09 11:57:52) Людмила: Почему не решаете уравнение проще? Сумма квадратов равна 0 только тогда, когда каждое слагаемое равно 0. Получаем систему уравнений.

Хочу получать новые решения

email рассылки Ни какого спама

email рассылки
X

9-й класс, ОГЭ: Математика

11-й класс, ЕГЭ: Математика (базовый уровень)

X

Введите порядковый номер задачи для раздела 'ОГЭ, 9-й класс. Математика: Алгебраические выражения' (от 1 до 295)

X

Введите номер задачи с сайта fipi.ru (шестизначный номер из букв и цифр)

X

Значение не введено

X

Задайте вопрос по этой задаче.

Ваше имя:

Рейтинг@Mail.ru Copyright otvet-gotov.ru 2014-2018. Все права защищены. Яндекс.Метрика