Решение задачи:

Иными словами можно сказать так: при каких m координата y вершин парабол будет или положительной, или отрицательной для обоих парабол одновременно.
Определим координаты y вершин парабол по формуле:
Для первой параболы:

Для второй параболы:

Теперь рассмотрим первый вариант: вершины обеих парабол лежат выше оси Х, т.е. больше нуля.


Решив систему неравенств мы найдем все такие m, при которых вершины обеих парабол лежат выше оси Х.
Чтобы решить систему неравенств, необходимо решить отдельно каждое неравенство и пересечь полученные диапазоны. Пересечение диапазонов и будет решением системы неравенств.
1) m-2m²>0
Для решения неравенства найдем корни соответствующего квадратного уравнения:
m-2m²=0
m(1-2m)=0
Произведение равно нулю, когда один из множителей равен нулю, поэтому:
m₁=0
m₂=0,5
Ветви параболы m-2m² направлены вниз, так как коэффициент а=-2, т.е. меньше нуля. m-2m²>0 на диапазоне (0; 0,5).
2) m+2m²>0
Тем же способом находим корни:
m₁=0
m₂=-0,5
Ветви параболы m+2m² направлены вверх, так как коэффициент а=2, т.е. больше нуля. m+2m²>0 на диапазонах (-∞; -0,5)∪(0; +∞).
Пересекая диапазоны, мы получаем решение системы неравенств:
m⊂(0; 0,5) - при таких значениях m вершины обеих парабол будут выше оси Х.
Теперь рассмотрим вариант, когда обе параболы находятся ниже оси Х.


Решаем эту систему тем же способом:
1) m-2m²<0
m(1-2m)<0
Корни:
m₁=0
m₂=0,5
(-∞; 0)∪(0,5; +∞).
2) m+2m²<0
m(1+2m)<0
Корни:
m₁=0
m₂=-0,5
(-0,5; 0).
Пересекая диапазоны, получаем (-0,5; 0).
Итоговый ответ будет сложением двух полученных диапазонов: (0; 0,5) и (-0,5; 0).
Ответ: (-0,5; 0)∪(0; 0,5)