В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. Точка O является центром окружности, вписанной в треугольник ABC. Расстояния от точки O до точки A и прямых AD и AC соответственно равны 5, 4 и 3. Найдите площадь параллелограмма ABCD.
По
свойству касательной:
OF - радиус окружности, т.к. OF проходит через центр окружности и перпендикулярен
касательной AC.
AG=AF
BG=BH=x
CH=CF=y
AF найдем по
теореме Пифагора:
AO2=AF2+OF2
52=AF2+32
25=AF2+9
AF2=16
AF=4=AG
EH -
высота параллелограмма. EH=OH+OE=3+4=7
SABC=p*r, где p - полупериметр, r - радиус вписанной окружности.
p=(AB+BC+AC)/2.
Рассмотрим треугольники ABC и CDA.
AD=BC и AB=CD (по
свойству параллелограмма).
AC - общая сторона.
Следовательно, по
третьему признаку равенства треугольников, данные треугольники равны.
Тогда:
SABCD=2*SABC
И в тоже время SABCD=EH*AD.
Приравняем полученные равенства:
p*r=EH*AD/2
(AB+BC+AC)/2*r=EH*BC/2
(AG+GB+BH+HC+CF+AF)*r=EH*(BH+HC)
(4+x+x+y+y+4)*3=7*(x+y)
(8+2x+2y)*3=7*(x+y)
24+3(2x+2y)=7*(x+y)
24+6(x+y)=7*(x+y)
24=x+y
x+y=24=BC=AD
SABCD=EH*AD=7*24=168
Ответ: SABCD=168
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
В параллелограмме ABCD диагонали AC и BD пересекаются в точке K. Докажите, что площадь параллелограмма ABCD в четыре раза больше площади треугольника AKD.
Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 44°, 71° и 65°.
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=21 и CH=8. Найдите высоту ромба.
Высота AH ромба ABCD делит сторону CD на отрезки DH=24 и CH=2. Найдите высоту ромба.
Сторона ромба равна 22, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии: