Через середину K медианы BM треугольника ABC и вершину A проведена прямая, пересекающая сторону BC в точке P. Найдите отношение площади четырёхугольника KPCM к площади треугольника AMK.
По условию задачи ВМ -
медиана треугольника АВС, следовательно, по
свойству медианы,
площади треугольников АВМ и ВСМ равны, и равны половине площади треугольника АВС.
SABM=SBCM=(SABC)/2.
В свою очередь, AK является медианой для треугольника АВМ, следовательно, по тому же
свойству медианы
SABК=SAKM=(SABM)/2=(SABC)/4.
Проведем отрезок СК.
СК является
медианой для треугольника СМВ, следовательно,
SCMK=SCKB=(SCMB)/2=(SABC)/4.
Проведем отрезок МЕ, параллельно АР.
МЕ является
средней линией для треугольника АРС, следовательно (по
теореме о средней линии) СЕ=ЕР. А для треугольника МВЕ
КР является
средней линией, следовательно ВР=ЕР(=СЕ). Т.е. сторона ВС делится на три равные части точками
Р и Е.
Проведем
высоту h, как показано на рисунке. h является общей высотой для треугольников СКВ и СКР.
Выше мы определили, что SCKB=(SABC)/4. Площадь этого же треугольника =(1/2)*h*BC.
SCKP=(1/2)*h*РС=(1/2)*h*(2/3)*ВС=(2/3)*(1/2)*h*BC=(2/3)SCKB=(2/12)SABC
=(1/6)SABC.
SKPCM=SCMK+SCKP=(SABC)/4+(1/6)SABC=(5/12)SABC.
Следовательно отношение SKPMC к SAMK равно ((5/12)SABC)/(1/4)SABC=5/3.
Ответ: SKPMC/SAMK=5/3.
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=10 и MB=18. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.
Две касающиеся внешним образом в точке K окружности, радиусы которых равны 45 и 46, вписаны в угол с вершиной A. Общая касательная к этим окружностям, проходящая через точку K, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC.
В окружности с центром в точке O проведены диаметры
AD и BC, угол OAB равен 70°. Найдите величину угла OCD.
Биссектриса CM треугольника ABC делит сторону AB на отрезки AM=11 и MB=16. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку C, пересекает прямую AB в точке D. Найдите CD.
В треугольнике АВС углы А и С равны 40° и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой BD.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии: