ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №56A917

Решение задачи:

Вариант №1
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=164/2=82.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). S_EDC=S_EDB=(BE*OD)/2=(164*82)/2=82*82=6724
S_ABE=(BE*AO)/2=(164*82)/2=6724
Т.е. S_ABE=S_EDC=S_EDB=6724
Тогда, S_ABС=3*6724=20172
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
S_ABD=(AD*BO)/2=S_ABC/2
(164*BO)/2=20172/2
BO=20172/164=123
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB²=BO²+AO²
AB²=123²+82²
AB²=15129+6724=21853
AB=√21853=√1681*13=41√13
BC=2AB=2*41√13=82√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=164-123=41
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE²=AO²+OE²
AE²=82²+41²=6724+1681=8405
AE=√8405=√5*1681=41√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
82√13/41√13=CE/(41√5)
2=CE/(41√5)
CE=82√5
AC=AE+CE=41√5+82√5=123√5
Ответ: AB=41√13, BC=82√13, AC=123√5

---

Вариант №2 (Предложил Всеволод).
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD и AO=OD=AD/2=164/2=82.
Проведём через точку C прямую, параллельную AD. Продлим BA и BE до пересечения с этой прямой в точках F и G соответственно.
AF=AB (по теореме Фалеса. AD и FC параллельны и разбивают BC на два отрезка 1:1, т.е. на равные отрезки, следовательно и BF они разобьют на равные отрезки).
Тогда получается, что:
AF=AB=BD=CD
Т.е. получается равнобедренный треугольник BCF со средней линией AD и медианами BG и CA, которые в точке пересечения E делятся в отношении 2:1 считая от вершин (по свойству медианы).
BE=164 (по условию задачи)
EG=BE/2=164/2=82
BG=BE+EG=164+82=246
BO=OG=BG/2=246/2=123
Рассмотрим треугольник ABO.
Он прямоугольный (по условию задачи), тогда по теореме Пифагора:
AB²=BO²+AO²
AB²=123²+82²
AB²=15129+6724
AB²=21853
AB=√21853=√1681*13=41√13
BC=2AB=2*41√13=82√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=OG-EG=123-82=41.
AOE тоже прямоугольный, следовательно по теореме Пифагора:
AE²=AO²+OE²
AE²=82²+41²
AE²=6724+1681=8405
AE=√8405=√1681*5=41√5
EC=2AE=2*41√5=82√5 (мы ранее выяснили, что медианы делятся в отношении 2:1 начиная от вершины)
AC=AE+EC=41√5+82√5=123√5
Ответ: AB=41√13, BC=82√13, AC=123√5