На стороне BC остроугольного треугольника ABC (AB≠AC) как на диаметре построена полуокружность, пересекающая высоту AD в точке M, AD=15, MD=3, H — точка пересечения высот треугольника ABC. Найдите AH.
Проведем отрезки CM и MB.
∠BMC является
вписанным в окружность и опирается на дугу в 180° (так как BC - диаметр окружности).
Следовательно, ∠BMC=90° (по
теореме о вписанном угле).
Получается, что треугольник MBC -
прямоугольный.
Рассмотрим треугольники MBC и MBD.
∠BMC=∠BDM=90°
∠MBD - общий.
Следовательно, данные треугольники
подобны (по
первому признаку подобия).
Рассмотрим треугольники MBC и MDС.
∠BMC=∠MDC=90°
∠MCD - общий.
Следовательно, данные треугольники
подобны (по
первому признаку подобия).
Значит треугольник MBD подобен треугольнику MDС.
Тогда: MD/BD=CD/MD
MD2=CD*BD
32=CD*BD
9=CD*BD
Вернемся к первоначальному рисунку и рассмотрим треугольники AHE и BHD.
∠AEH=∠BDH=90°
∠AHE=∠BHD (так как это
вертикальные углы).
Следовательно, используя
теорему о сумме углов треугольника, получаем, что ∠HAE=∠HBD.
Рассмотрим треугольники ADC и BDH.
∠HAE=∠HBD (как мы уже выяснили).
∠ADC=∠BDH=90°
Следовательно, данные треугольники
подобны (по
первому признаку подобия).
Тогда:
AD/BD=DC/DH
AD*DH=BD*DC=9 (см. выше).
DH=9/AD=9/15=0,6
AH=AD-DH=15-0,6=14,4
Ответ: AH=14,4
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Найдите площадь треугольника, изображённого на рисунке.
Какова длина (в метрах) лестницы, которую прислонили к дереву, если верхний её конец находится на высоте 2,4 м над землёй, а нижний отстоит от ствола дерева на 0,7 м?
Точка H является основанием высоты
BH, проведенной из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH=16.
Сторона ромба равна 28, а острый угол равен 60°. Высота ромба, опущенная из вершины тупого угла, делит сторону на два отрезка. Каковы длины этих отрезков?
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=8, DK=12, BC=6. Найдите AD.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2015-05-12 17:35:01) : Спасибь