В выпуклом четырёхугольнике ABCD углы BCA и BDA равны. Докажите, что углы ABD и ACD также равны.
Вариант 1
∠BCA и ∠BDA опираются на отрез AB и равны друг другу.
Значит мы можем провести окружность через точки AB и вершины этих углов. Эти углы окажутся
вписанными в окружность, опирающимися на одну дугу.
Получится, что мы описали окружность вокруг четырехугольника.
Заметим, что углы ABD и ACD тоже являются
вписанными и опирающимися на одну и ту же дугу, т.е., используя
теорему о вписанном угле, получаем, что они равны друг другу .
Рассмотрим треугольники OBC и OAD.Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Высота равностороннего треугольника равна
15√
естница соединяет точки A и B и состоит из 40 ступеней. Высота каждой ступени равна 19,5 см, а длина – 40 см. Найдите расстояние между точками A и B (в метрах).
В треугольнике ABC угол C равен 150°, AB=4. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника.
Высота равностороннего треугольника равна
15√
Укажите номера верных утверждений.
1) Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) Вертикальные углы равны.
3) Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2018-04-13 20:04:15) маша: спасибо
(2017-03-09 20:00:07) Администратор: Генрих, пожалуйста, обращайтесь. Кстати, Ваш вопрос очень правильный.
(2017-03-07 17:42:44) Генрих: Да, все грамотно) спасибо большое)
(2017-03-06 22:58:18) Администратор: Генрих, можно доказать от обратного. Например, эти два угла являются вписанными для разных окружностей. Но при этом градусные меры дуг совпадают, так как вписанные углы равны. Следовательно, и радиусы у этих окружностей равны. Таких окружностей можно провести только две, и только так, чтобы ценры окружностей располагались по разные стороны от нашей хорды. А в нашем случае центры явно лежат по одну сторону. Получается, что окружности совпадают, т.е. углы принажлежат одной окружности.
(2017-03-03 17:13:03) Генрих: Скажите пожалуйста, как доказать, что если два угла, в данном случае BDA BCA, опираются на одну дугу и равны, то они вписаны в одну и ту же окружность? По-моему это не очевидно.
(2016-12-21 18:50:49) Инна: Да. Класс! Теперь понятно, что методом преобразования из первой пропорции получается вторая. Большое спасибо.
(2016-12-20 17:00:17) Администратор: Инна, теперь я Вас понял. Я добавил в решение пару строк, чтобы все стало правильно и понятно. Я, видимо, зря опустил эти вычисления. Спасибо, что обратили на это внимание. Теперь все хорошо?
(2016-12-20 16:34:00) Инна: То есть я пишу о доказательстве подобия треугольников АВО и ДСО, где используется второй признак подобия. Из полученной пропорции нельзя сделать вывод, что стороны треугольников АВО и ДСО пропорциональны.
(2016-12-20 16:27:01) Инна: Речь идёт о втором признаке, когда доказывается подобие второй пары треугольников на основании полученной пропорции.И тут и не получается того, что стороны пропорциональны.
(2016-12-20 11:41:03) Администратор: Инна, по первому признаку подобия треугольников. "Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны". А уже из доказанного подобия мы можем утверждать о пропорциональности сторон.
Нажимайте на ссылки в решении, тогда вы увидите материалы на которые я ссылаюсь.
(2016-12-19 19:50:21) Инна: Во втором варианте отношения сторон ОВ и ОА, а также ОС и ОД разве можно назвать отношениями пропорциональных сторон треугольников АВО и ВСО? Мы же видим, что ОВ и ОА - стороны одного треуг.АВО, так же и стороны ОС и ОД - стороны одного треуг.ВСО? Каким образом приведённое в задаче отношение доказывает пропорциональность сторон треугольников АВО и ВСО?
(2016-12-17 10:33:42) Администратор: Владислав, тут тонкий момент. Пусть АВ - это хорда какой-то окружности (мы пока не знаем как она проходит). Таких окружностей бесконечно много. Выберем такую окружность, для которой угол BCA будет вписанным.Через точки A, B и C всегда можно провести окружность. А так как угол BDA равен BCA и опирается на ту жу дугу, то угол BDA тоже окажется вписанным в окружность. Таким образом получится, что окружность описана вогруг четырехугольника.
(2016-12-16 14:04:00) Владислав: Да, я тоже не понимаю кто сказал что мы можем описать окружность, надо сначала доказать что сумма противоположных углов 180.
(2016-05-29 12:27:41) Администратор: Елена, Вертикальные углы - это углы образованные двумя пересеченными прямыми и находящиеся напротив друг друга. Параллельные прямые тут вообще ни при чем.
(2016-05-29 11:52:54) Елена: Вопрос по 2 варианту решения. Как углы BOC и AOD могут быть вертикальными, если мы не знаем, что ВС параллельна AD?
(2015-04-30 20:46:35) Администратор: Саша, ни в условии, ни в решении нет ни одного слова про трапецию.
(2015-04-30 18:53:49) Саша: А разве можно просто так взять и описать окружность около трапеции. Ведь чтобы описать нужно равнобокую трапецию?