Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 20 и 25, а основание BC равно 5. Биссектриса угла ADC проходит через середину стороны AB. Найдите площадь трапеции.
Проведем отрезок, параллельный основаниям, как показано на рисунке.
EF -
средняя линия трапеции, так как соединяет середины боковых сторон трапеции (по
теореме Фалеса).
∠ADE=∠DEF (так как это
накрест-лежащие углы при параллельных прямых EF и AD и секущей ED).
Получается, что ∠DEF=∠EDF (так как DE -
биссектриса).
Значит треугольник EFD -
равнобедренный (по
свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, EF=FD (по
определению).
EF=FD=CD/2=25/2=12,5
EF=(BC+AD)/2=12,5
(5+AD)/2=12,5
5+AD=25
AD=20
Дальше площадь трапеции можно найти разными способами:
1) Вычислить
высоту трапеции. И вычислить площадь через высоту
2) Вычислить площадь через стороны трапеции.
Первый вариант
Проведем
высоты как показано на рисунке.
MN=BC=5 (т.к. BCNM -
прямоугольник).
BM=CN=h
Обозначим AM как x, для удобства.
AD=AM+MN+ND
20=x+5+ND
ND=15-x
Для треугольника ABM запишем
теорему Пифагора:
AB2=h2+x2
202=h2+x2
h2=400-x2
Для треугольника CDN запишем
теорему Пифагора:
CD2=h2+ND2
252=h2+(15-x)2
625=h2+(15-x)2
Подставляем вместо h2 значение из первого уравнения:
625=400-x2+(15-x)2
625-400=-x2+152-2*15*x-x2
225=152-2*15*x
225=225-30x
30x=0
x=0, получается, что BM совпадает со стороной AB, т.е. AB является высотой трапеции.
Тогда площадь трапеции равна:
S=AB(AD+BC)/2=20(20+5)/2=10*25=250
Второй вариант
Площадь трапеции можно найти по
формуле.
Ответ: 250
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Медиана BM и биссектриса AP треугольника ABC пересекаются в точке K, длина стороны
AC втрое больше длины стороны AB. Найдите отношение площади четырехугольника KPCM к площади треугольника ABC.
Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Прямые AB и CD пересекаются в точке K, BK=18, DK=9, BC=16. Найдите AD.
В параллелограмме АВСD проведены перпендикуляры ВЕ и DF к диагонали АС (см. рисунок). Докажите, что отрезки ВF и DЕ равны.
В треугольнике ABC BM – медиана и BH – высота. Известно, что AC=216, HC=54 и ∠ACB=40°. Найдите угол AMB. Ответ дайте в градусах.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Площадь квадрата равна произведению его диагоналей.
2) Если две различные прямые на плоскости перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.
3) Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии:
(2015-05-25 14:33:55) : Всеволод вообщето мы в школе изучаем формулу герона... Верните решение с формулой герона
(2015-03-16 15:09:26) Администратор: Всеволод, спасибо Вам за участие!
(2015-03-16 12:06:14) Всеволод: Спасибо за отклик! Теперь решение простое и точно в рамках программы, без волшебного "заметим" и без формулы Герона, наличие которой в программе тоже надо уточнять.
(2015-03-15 22:34:37) Администратор: Всеволод, я воспользовался Вашим советом и добавил решение без сложной формулы. Немного не так как писали Вы, но идея так же. Спасибо за подсказку!
(2015-03-12 12:41:42) Всеволод: Были глюки ... Пожалуйста, удалите дубликат сообщения и исправьте "с прямым углом в вершине C" на "с прямым углом в вершине H". Извиняюсь.
(2015-03-12 12:35:06) Всеволод: Применение такой формулы площади трапеции как-то не очень вписывается в программу. Проведём CH||BA и рассмотрим треугольник CDH. У него CD=25, DH=(DA-BC)=15, CH=AB=20. Заметим(!), что 25^2=15^2+20^2, т.е. треугольник CDH прямоугольный с прямым углом в вершине С. Значит CH=AB=20 является высотой трапеции, откуда сразу площадь трапеции 20х12.5=250. Если не заметили, что треугольник CDH прямоугольный, то дважды ищем его площадь: по формуле Герона (она ближе к программе) и как половина произведения основания DH на высоту, откуда находим нужную нам высоту и потом площадь трапеции.