ОГЭ, Математика.
Геометрия: Задача №382962

Решение задачи:

Вариант №1
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD.
Т.е. треугольник ABD - равнобедренный.
BO - биссектриса этого треугольника, следовательно и медиана, и высота (по третьему свойству равнобедренного треугольника).
Следовательно, AO=OD=AD/2=44/2=22.
Проведем отрезок ED и рассмотрим треугольник BEC.
ED - медиана этого треугольника, так как делит сторону BC пополам.
Площади треугольников EDC и EDB равны (по второму свойству медианы). S_EDC=S_EDB=(BE*OD)/2=(44*22)/2=22*22=484
S_ABE=(BE*AO)/2=(44*22)/2=484
Т.е. S_ABE=S_EDC=S_EDB=484
Тогда, S_ABС=3*484=1452
AD - медиана треугольника ABC (по условию), следовательно делит треугольник на два равных по площади треугольника ABD и ACD (по второму свойству медианы).
S_ABD=(AD*BO)/2=S_ABC/2
(44*BO)/2=1452/2
BO=1452/44=33
Рассмотрим треугольник ABO, он прямоугольный, тогда применим теорему Пифагора:
AB²=BO²+AO²
AB²=33²+22²
AB²=1089+484=1573
AB=√1573=√121*13=11√13
BC=2AB=2*11√13=22√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=BE-BO=44-33=11
Так как этот треугольник тоже прямоугольный, то можно применить теорему Пифагора:
AE²=AO²+OE²
AE²=22²+11²=484+121=605
AE=√605=√5*121=11√5
Так как BE - биссектриса, то используя ее первое свойство запишем:
BC/AB=CE/AE
22√13/11√13=CE/(11√5)
2=CE/(11√5)
CE=22√5
AC=AE+CE=11√5+22√5=33√5
Ответ: AB=11√13, BC=22√13, AC=33√5

---

Вариант №2 (Предложил Всеволод).
Рассмотрим треугольник ABD.
BO перпендикулярен AD (по условию задачи), т.е. ∠BOD=∠BOA=90°.
∠ABO=∠DBO (т.к. BE - биссектриса).
Получается, что треугольники ABO и DBO равны (по второму признаку равенства треугольников).
Следовательно, AB=BD и AO=OD=AD/2=44/2=22.
Проведём через точку C прямую, параллельную AD. Продлим BA и BE до пересечения с этой прямой в точках F и G соответственно.
AF=AB (по теореме Фалеса). AD и FC параллельны и разбивают BC на два отрезка 1:1, т.е. на равные отрезки, следовательно и BF они разобьют на равные отрезки).
Тогда получается, что:
AF=AB=BD=CD
Т.е. получается равнобедренный треугольник BCF со средней линией AD и медианами BG и CA, которые в точке пересечения E делятся в отношении 2:1 считая от вершин (по свойству медианы).
BE=44 (по условию задачи)
EG=BE/2=44/2=22
BG=BE+EG=44+22=66
BO=OG=BG/2=66/2=33
Рассмотрим треугольник ABO.
Он прямоугольный (по условию задачи), тогда по теореме Пифагора:
AB²=BO²+AO²
AB²=33²+22²
AB²=1089+484=1573
AB=√1573=√121*13=11√13
BC=2AB=2*11√13=22√13
Рассмотрим треугольник AOE.
OE=OG-EG=33-22=11.
AOE тоже прямоугольный, следовательно по теореме Пифагора:
AE²=AO²+OE²
AE²=22²+11²
AE²=484+121=605
AE=√605=√121*5=11√5
EC=2AE=2*11√5=22√5 (мы ранее выяснили, что медианы делятся в отношении 2:1 начиная от вершины)
AC=AE+EC=11√5+22√5=33√5
Ответ: AB=11√13, BC=22√13, AC=33√5