Окружности радиусов 25 и 100 касаются внешним образом. Точки A и B лежат на первой окружности, точки C и D — на второй. При этом AC и BD — общие касательные окружностей. Найдите расстояние между прямыми AB и CD.
Рассмотрим
трапецию ACO1O2
Данная трапеция
прямоугольная, т.к. радиусы перпендикулярны
касательной AC (по
свойству касательной).
Проведем O2K параллельно AC, O2K=AC, т.к. ACKO2 -
прямоугольник.
По
теореме Пифагора:
(O1O2)2=(O2K)2+(KO1)2
(R+r)2=(O2K)2+(R-r)2
(100+25)2=(O2K)2+(100-25)2
15625=(O2K)2+5625
(O2K)2=10000
O2K=100=AC
Рассмотрим треугольники OAO2 и OCO1 (cм. Рис.1).
∠AOO2 - общий
∠OAO2=∠OCO1=90°
Следовательно эти треугольники
подобны (по
первому признаку подобия треугольников).
Тогда, R/r=OC/OA
100/25=OC/AO=(AO+AC)/AO
4AO=AO+100
3OA=100
OA=100/3
Из
подобия этих же треугольников:
R/r=O10/O2O
R/r=(O2O+R+r)/O2O
100/25=(O2O+100+25)/O2O
4(O2O)=O2O+125
3(O2O)=125
O2O=125/3
Обозначим угол ∠AOO2 как α
cosα=OA/OO2=(100/3)/(125/3)=100/125=0,8
Посмотрим на треугольники OAE и OCF.
Они
прямоугольные по
второму свойству хорды.
Тогда для треугольника OAE:
cosα=OE/OA
OE=OA*cosα=(100/3)*0,8=80/3
Для треугольника OCF:
cosα=OF/OC
OF=OC*cosα=(OA+AC)*cosα=
(100/3+100)*0,8=80/3+80=(80+3*80)/3=320/3
EF=OF-OE=320/3-80/3=240/3=80
Ответ: EF=80
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите AC, если диаметр окружности равен 5,25, а AB=9.
ABCDEFGHIJ — правильный десятиугольник. Найдите угол CAH. Ответ дайте в градусах.
Радиус окружности с центром в точке O равен 50, длина хорды AB равна 96 (см. рисунок). Найдите расстояние от хорды AB до параллельной ей касательной k.
Какие из данных утверждений верны? Запишите их номера.
1) Если три угла одного треугольника соответственно равны трём углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
2) В любой четырёхугольник можно вписать окружность.
3) Центром описанной окружности треугольника является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.
В треугольнике ABC угол C равен 90°, cosB=2/5, AB=10. Найдите BC.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии: