В трапеции ABCD основания AD и BC равны соответственно 34 и 9, а сумма углов при основании AD равна 90°. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся прямой CD, если AB=10.
Продлим стороны AB и CD до пересечения друг с другом.
Рассмотрим треугольник AED.
По
теореме о сумме углов треугольника:
180°=∠EDA+∠DAE+∠AED
180°=90°+∠AED
∠AED=90°
Следовательно треугольник AED -
прямоугольный.
Рассмотрим треугольники AED и BEC.
∠AED - общий
∠EBC=∠EAD (т.к. это
соответственные углы)
Треугольники AED и BEC
подобны (по
первому признаку подобия треугольников).
Тогда по
определению подобия:
AD/BC=AE/BE
AD/BC=(AB+BE)/BE
34/9=(10+BE)/BE
34BE/9=10+BE
25BE/9=10
BE=90/25=3,6
Точка F - точка касания прямой CD и окружности.
По
теореме о касательной и секущей:
EF2=BE*AE=BE*(AB+BE)=3,6(10+3,6)=48,96
EF=√
Рассмотрим треугольник EOK.
О - центр окружности
OB - радиус окружности
OK -
серединный перпендикуляр к
хорде AB (
третье свойство хорды)
OK=EF (т.к. KEFO -
прямоугольник)
KB=AB/2 (т.к. OK -
серединный перпендикуляр)
По
теореме Пифагора:
OB2=OK2+KB2
OB2=(√
OB2=48,96+25=73,96
OB=8,6
Ответ: R=8,6
Поделитесь решением
Присоединяйтесь к нам...
Лестница соединяет точки A и B. Высота каждой ступени равна 10,5 см, а длина – 36 см. Расстояние между точками A и B составляет 15 м. Найдите высоту, на которую поднимается лестница (в метрах).
Из вершины прямого угла C треугольника ABC проведена высота CP. Радиус окружности, вписанной в треугольник BCP, равен 8, тангенс угла BAC равен 4/3. Найдите радиус вписанной окружности треугольника ABC.
Центральный угол AOB опирается на хорду АВ так, что угол ОАВ равен 60°. Найдите длину хорды АВ, если радиус окружности равен 7.
Точка О – центр окружности, /BAC=75° (см. рисунок). Найдите величину угла BOC (в градусах).
Через точку A, лежащую вне окружности, проведены две прямые. Одна прямая касается окружности
в точке K. Другая прямая пересекает окружность
в точках B и C, причём AB=4, AC=64. Найдите AK.
Хочу получать новые решения
Ни какого спама
Автор: Таська
Комментарии: